双対ベクトル場（微分形式）に対する共変微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:14 UTC 版)
「共変微分」の記事における「双対ベクトル場（微分形式）に対する共変微分」の解説
M 上の双対ベクトル場（微分形式）を ω とする。ω に対するベクトル場 X による共変微分 ∇ X ω {\displaystyle \nabla _{X}\omega } をベクトル場の共変微分を用いて以下 ⟨ ∇ X ω , Y ⟩ = X ⟨ ω , Y ⟩ − ⟨ ω , ∇ X Y ⟩ {\displaystyle \langle \nabla _{X}\omega ,Y\rangle =X\langle \omega ,Y\rangle -\langle \omega ,\nabla _{X}Y\rangle } のように定義する。 なお、二つのテンソル F, H のテンソル積 F ⊗ H {\displaystyle F\otimes H} のベクトル場 X による共変微分について次の性質 ∇ X ( F ⊗ H ) = ( ∇ X F ) ⊗ H + F ⊗ ( ∇ X H ) {\displaystyle \nabla _{X}(F\otimes H)=(\nabla _{X}F)\otimes H+F\otimes (\nabla _{X}H)} が成り立つ。
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