双対四元数

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双対四元数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/06 10:18 UTC 版)

「クリフォード代数」の記事における「双対四元数」の解説

このセクションにおいて、双対四元数（英語版）が退化二次形式を持った実四次元空間の偶クリフォード代数として構成される。 ベクトル空間 V を実四次元空間 R4 とし、二次形式 Q を R3 上のユークリッド距離から入る退化形式とする。v, w ∈ R4 に対して、退化双線型形式 d ( v , w ) = v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 . を導入する。この退化スカラー積は R4 における距離測定を R3 の超平面に全射で射影する。 ベクトル v と w のクリフォード積は v w + w v = − 2 d ( v , w ) によって与えられる。負号は四元数との対応を簡単にするために導入されることを注意しよう。 R4 の直交単位ベクトルの集合を e1, e2, e3, e4 として表記すると、クリフォード積は関係 e m e n = − e n e m , m ≠ n , と e 1 2 = e 2 2 = e 3 2 = − 1 , e 4 2 = 0 を生み出す。 クリフォード代数 Cℓ(R4,d) の一般元は 16 個の成分を持つ。偶次数付けられた元の線型結合は次の形の一般元を持った偶部分代数 Cℓ0(R4,d) を定義する H = h 0 + h 1 e 2 e 3 + h 2 e 3 e 1 + h 3 e 1 e 2 + h 4 e 4 e 1 + h 5 e 4 e 2 + h 6 e 4 e 3 + h 7 e 1 e 2 e 3 e 4 . 基底元は四元数基底元 i, j, k と双対単位 ε と i = e 2 e 3 , j = e 3 e 1 , k = e 1 e 2 , ε = e 1 e 2 e 3 e 4 として同一視できる。これは Cℓ 00,3,1 (R) の双対四元数代数との対応を提供する。 これを見るには、次を計算する ε 2 = ( e 1 e 2 e 3 e 4 ) 2 = e 1 e 2 e 3 e 4 e 1 e 2 e 3 e 4 = − e 1 e 2 e 3 ( e 4 e 4 ) e 1 e 2 e 3 = 0 , と ε i = ( e 1 e 2 e 3 e 4 ) e 2 e 3 = e 1 e 2 e 3 e 4 e 2 e 3 = e 2 e 3 ( e 1 e 2 e 3 e 4 ) = i ε . e1 と e4 の交換は偶数回符号を交代し、双対単位 ε が四元数基底元 i, j, k と交換することを示す。