双対基底と内積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/12/25 07:00 UTC 版)
ベクトル空間 V が内積を備えているとき、与えられた基底に対する双対基底を明示的な式に表すことができる。V が（必ずしも直交しない）基底 {e1, …, en} を持つとすると、双対基底余ベクトルは ω ~ i ( v ) = ⟨ ∑ 1 ≤ i 2 < i 3 < ⋯ < i n ≤ n ϵ i i 2 … i n ( ⋆ e i 2 ∧ ⋯ ∧ e i n ) ⋆ ( e 1 ∧ ⋯ ∧ e n ) , v ⟩ {\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(v)=\left\langle {\frac {\sum \limits _{1\leq i_{2}<i_{3}<\dots <i_{n}\leq n}\epsilon ^{ii_{2}\dots i_{n}}(\star e_{i_{2}}\wedge \dots \wedge e_{i_{n}})}{\star (e_{1}\wedge \dots \wedge e_{n})}},\;v\right\rangle } と表せる。ただし、ε はレヴィ＝チヴィタ記号で、 ⋆ {\displaystyle \star } はホッジ・スター演算子である。 特に三次元の場合は、点乗積と交叉積（およびスカラー三重積）を使って ω ~ i ( v ) = 1 2 ⟨ ∑ j = 1 3 ∑ k = 1 3 ϵ i j k ( e j × e k ) e 1 ⋅ e 2 × e 3 , v ⟩ {\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(v)={1 \over 2}\left\langle {\frac {\sum \limits _{j=1}^{3}\sum \limits _{k=1}^{3}\epsilon ^{ijk}\,(e_{j}\times e_{k})}{e_{1}\cdot e_{2}\times e_{3}}},\ v\right\rangle } と書ける。
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