交叉積

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クロス積

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/27 20:11 UTC 版)

3次元ベクトル a, b のクロス積（a × b）。クロス積は、a, b のなす平行四辺形の面積に等しい大きさを持ち、平行四辺形に垂直なベクトルとなる。

クロス積 （クロスせき、（英: cross product）は、3次元空間（3次元有向内積空間）において定義される、2つのベクトルから新たなベクトルを与える二項演算である。

2つのベクトル a, b のクロス積は乗算記号を用いて a × b、あるいは角括弧を用いて [a, b] と表される。

呼称

「クロス積」という呼称は、積の記号に十字（×）を用いることに由来する（同様にベクトルの内積は点（⋅）を用いることからドット積と呼ばれる）。またクロス積の別称として、 ベクトル積 （ベクトルせき、（英: vector product）がある。「ベクトル積」は積 a × b がベクトルとなることに由来する（同様に積 a ⋅ b はスカラーとなるため、ドット積はスカラー積とも呼ばれる）。

日本語や中国語では、クロス積（叉積、叉积）をしばしば外積（外積、外积）と呼び、しばしば同義語として扱う。しかし「外積」という語は、より一般には外積代数における楔積も指し、必ずしも「クロス積」とは一致しない。 楔積とクロス積を区別のため、前者を外積と呼び後者をクロス積と呼ぶ。

outer product もまた「外積」と訳されるが、こちらは直積（direct product）を意味する。

表記

2つのベクトル a, b のクロス積は、以下のように表記される。

• 乗算記号を用いる場合： ${\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}$
  右手の法則によるクロス積の向き

  右手系の外積

  3次元空間上の2つのベクトル a, b のクロス積 a × b は、以下のように定義される：

  ${\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}=\left|{\boldsymbol {a}}\right|\left|{\boldsymbol {b}}\right|\sin(\theta )\ {\boldsymbol {n}}$

  （図1）2つのベクトルのクロス積の大きさは、それらが作る平行四辺形の大きさとなる。

  （図2）3つのベクトルのクロス積は、平行六面体を定義する。

  2つのベクトルのクロス積は、2つのベクトルが作る平行四辺形の大きさに等しい（図1）。

  $$\left\|{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}\right\|=\left\|{\boldsymbol {a}}\right\|\left\|{\boldsymbol {b}}\right\|\left|\sin \theta \right|$$