交換子と交叉積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/30 21:27 UTC 版)
二つの八元数 x, y の交換子は [ x , y ] = x y − y x {\displaystyle [x,y]=xy-yx} で与えられる。これは反対称的かつ虚である。虚部分空間 Im(O) でのみ積を考えるならば、交換子は Im(O) 上の新たな積（七次元交叉積） x × y = 1 2 ( x y − y x ) {\displaystyle x\times y={\frac {1}{2}}(xy-yx)} を定める。三次元の交叉積同様、x × y は x と y とに直交し、その大きさは ‖ x × y ‖ = ‖ x ‖ ‖ y ‖ sin θ {\displaystyle \|x\times y\|=\|x\|\|y\|\sin \theta } で与えられる。ただし、八元数の積と異なり、この積の値は一意には決まらない。実際、八元数の積の決め方に依存して無数に異なる交叉積が存在する。
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