双対テンソル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/10 00:32 UTC 版)
完全反対称テンソル ε を用いれば、電磁場の強度 F に双対なテンソル F ~ μ ν = 1 2 ϵ μ ν ρ σ F ρ σ {\displaystyle {\tilde {F}}^{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }} が定義される。具体的には ( F ~ 01 , F ~ 02 , F ~ 03 ) = ( F 23 , F 31 , F 12 ) = ( B 1 , B 2 , B 3 ) {\displaystyle ({\tilde {F}}^{01},{\tilde {F}}^{02},{\tilde {F}}^{03})=(F_{23},F_{31},F_{12})=(B_{1},B_{2},B_{3})} ( F ~ 23 , F ~ 31 , F ~ 12 ) = ( F 01 , F 02 , F 03 ) = ( − E 1 / c , − E 2 / c , − E 3 / c ) {\displaystyle ({\tilde {F}}^{23},{\tilde {F}}^{31},{\tilde {F}}^{12})=(F_{01},F_{02},F_{03})=(-E_{1}/c,-E_{2}/c,-E_{3}/c)} であり、行列の形で表せば ( F ~ μ ν ) = [ 0 B 1 B 2 B 3 − B 1 0 − E 3 / c E 2 / c − B 2 E 3 / c 0 − E 1 / c − B 3 − E 2 / c E 1 / c 0 ] {\displaystyle ({\tilde {F}}^{\mu \nu })={\begin{bmatrix}0&B_{1}&B_{2}&B_{3}\\-B_{1}&0&-E_{3}/c&E_{2}/c\\-B_{2}&E_{3}/c&0&-E_{1}/c\\-B_{3}&-E_{2}/c&E_{1}/c&0\\\end{bmatrix}}} となる。
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