整数と格子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/12 08:10 UTC 版)
整数全体は、加法演算のもとで、基底 {1} をもつ自由アーベル群をなす。すべての整数 n は基底元の整係数線型結合（具体的には係数 n を持つ結合 n = n × 1）である。 整数のカルテシアン座標をもつ平面上の点からなる二次元整数格子（英語版）はベクトルの加法（英語版）のもとで基底 {{(0, 1), (1, 0)} をもつ自由アーベル群をなす。 e 1 = ( 1 , 0 ) {\displaystyle e_{1}=(1,0)} および e 2 = ( 0 , 1 ) {\displaystyle e_{2}=(0,1)} とすれば、元 (4,3) は次のように書ける。 ( 4 , 3 ) = 4 e 1 + 3 e 2 {\displaystyle (4,3)=4e_{1}+3e_{2}} ただし'スカラー倍'は 4 e 1 := e 1 + e 1 + e 1 + e 1 {\displaystyle 4e_{1}:=e_{1}+e_{1}+e_{1}+e_{1}} であるように定義される。 この基底において、(4,3) を書く他の方法は存在しないが、{(1, 0), (1, 1)} のような別の基底をとれば、 f 1 = ( 1 , 0 ) {\displaystyle f_{1}=(1,0)} , f 2 = ( 1 , 1 ) {\displaystyle f_{2}=(1,1)} とおくと、次のように書ける。 ( 4 , 3 ) = f 1 + 3 f 2 {\displaystyle (4,3)=f_{1}+3f_{2}} . より一般に、すべての格子は有限生成自由アーベル群をなす。d 次元の整数格子は d 個の単位ベクトルからなる自然な基底をもつが、他の基底もたくさんもつ。M が d × d 整数行列で行列式が ±1 であれば、M の列は基底をなし、逆に整数格子のすべての基底はこの形である。二次元の場合についてより詳しくは、周期の基本対（英語版）を見よ。
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