推移的集合

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推移的集合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/04/20 07:07 UTC 版)

数学の集合論（必ずしもZFCではない一般の集合論）において、集合 A が推移的（英: transitive）であるとは、

• x ∈ A かつ y ∈ x、ならば y ∈ A

もしくは、同じ意味であるが

• x ∈ A かつ x がurelement (基本元素)でないなら x は A の部分集合

であることをいう。同様にクラス M が推移的であるとは、M の要素が全て M の部分集合であることをいう。

例

ジョン・フォン・ノイマンによる順序数の定義を用いると、順序数は遺伝的に推移的な集合として定義される

すなわち、順序数は推移的集合でその要素も全て推移的で(よって順序数でも)ある。

フォン・ノイマン宇宙 Vや 構成可能宇宙 L の構成の際に現れる V_α や L_αといった全ての階層も推移的集合である。 宇宙 L と V もそれ自体推移的クラスである。

性質

集合 X が推移的であることは${\displaystyle \bigcup X\subseteq X}$

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• Jech, Thomas (2008) [originally published in 1973]. The Axiom of Choice. Dover Publications. ISBN 0-486-46624-8