マルコフ数

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マルコフ数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/11/04 01:08 UTC 版)

マルコフ数（マルコフすう）は、マルコフのディオファントス方程式と呼ばれる以下の式

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz$

二分木上に配置されたマルコフ数

マルコフ数もマルコフの3つ組も無限個存在する。マルコフのディオファントス方程式が対称であることから、マルコフの3つ組は要素を並べ替えても再び方程式の解を与える。したがって、（上記の例のように） $a\leq b\leq c$ を仮定して正規化することができる。最初の2つの3つ組を除いて、マルコフの3つ組 $(a,b,c)$ は必ず3つの相異なる整数からなる。与えられたマルコフ数 c に対して、c が最大要素であるようなマルコフの3つ組が一意に定まるとする予想がある。

マルコフ数は二分木上に配置することが可能である（図参照）。あるレベルに置かれた整数の中で最大のものは、常にほぼ下から3番目にある。解の1つが2であるような3つ組に含まれるマルコフ数は、すべて奇数番目のペル数である（あるいは、 $2n^{2}-1$ が平方数となるような n と言い換えてもよい）。また、解の1つが1であるような3つ組に含まれるマルコフ数は、奇数番目のフィボナッチ数である。したがって、以下のようなマルコフの3つ組は無限個存在する。

$(1,F_{2n-1},F_{2n+1})$

ただし F_x はx 番目のフィボナッチ数とする。同様に、以下のようなマルコフの3つ組も無限個存在する。

$(2,P_{2n-1},P_{2n+1})$

ここで P_x は x 番目のペル数とする。

奇数のマルコフ数は $4n+1$という形であり、偶数のマルコフ数は $32n+2$ という形である。

あるマルコフの3つ組 (x, y, z) がわかっているとき、 $(x,y,3xy-z)$ という形の3つ組もまたマルコフの3つ組である。マルコフ数は素数であるとは限らないが、マルコフの3つ組の要素は常に互いに素である。 $(x,y,3xy-z)$ がマルコフの3つ組であるために、必ずしも $x<y<z$ が常に成り立つ必要はない。実際、要素の順序を変えずに上記の変換を2回続ければ、元のマルコフの3つ組に戻る。そこで、(1, 1, 2) から初めて y と z を入れ替えてから変換を行うという操作を続けると、フィボナッチ数からなるマルコフの3つ組が並ぶ。またx と zを入れ替えてから変換を行うという操作を続ければ、ペル数からなるマルコフの3つ組を与える。

1979年に、Don B. Zagier は n 番目のマルコフ数が近似的に

$m_{n}={\tfrac {1}{3}}e^{C{\sqrt {n}}+o(1)}\quad {\text{with }}C=2.3523418721\ldots$

で与えられることを証明した。さらに彼は、（元のディオファントス方程式の非常に良い近似である） $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz+4/9$がf(t) = arcosh(3t/2)に対して $f(x)+f(y)=f(z)$ と書けることを示した。

n 番目のラグランジュ数は、n 番目のマルコフ数から以下の公式によって求められる。

$L_{n}={\sqrt {9-{4 \over {m_{n}}^{2}}}}$

関連項目

• クラスター代数