クラスター代数

ウィキペディア

クラスター代数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/23 02:50 UTC 版)

この記事は英語から大ざっぱに翻訳されたものであり、場合によっては不慣れな翻訳者や機械翻訳によって翻訳されたものかもしれません。 翻訳を改善してくださる方を募集しています。

このページは他の記事からまったくリンクされておらず、孤立しています。 関係あるページをこのページにリンクしてください。（2022年8月）

団代数（クラスター代数）はFomin and Zelevinsky (2002, 2003, 2007)によって導入された可換環のクラスである。ランクnのクラスター代数は、整域Aであって、サイズnの複数のサブセットを持つものであり、それぞれのサブセットは団（クラスター）と呼ばれ、この複数のサブセットの和集合が代数Aを生成し、さまざまな条件を満たす。

定義

Fが整域であると仮定する。たとえば、有理数Q上のn個の変数の有理関数の可換体Q (x₁,...,x_n)などがその例である。

ランクnの団（クラスター）は、Fのn個の要素{x, y, ...}のセットで構成される。それらのセットは、通常、体拡大Fの代数的に独立した生成セットであるとみなされる。

シード（種）は、 Fの団（クラスター）{x, y, ...}と交換行列（英語版）Bとからなる。ただし、交換行列Bの要素b_x,yは整数であり、団（クラスター）の要素のペアx,yによってインデックス付けされたものである。交換行列を交代行列（または歪対称行列）であると限定することもあり、その場合は、すべてのxおよびyに対してb_x,y = –b_y,xである。より一般的には、交換行列は、歪対称化可能行列とされる。なお、歪対称化可能行列とは、そのすべての要素b_x,yが、団（クラスター）の要素に関連付けられた正の整数のセット{d_x,dy,...}を用いて、d_xb_x,y = –d_yb_y,xと、交代行列(歪対称行列)に変換できるようなべて行列のことである_。シード（種）は箙として視覚的に表現されることもよくある。箙は有向グラフであり、団（クラスター）{x, y, ...}を頂点とし、交換行列のb_x,yが正の場合、xからyにb_x,y本の有向辺（矢印）を引いたものである。 交換行列が歪対称化可能行列である場合、箙はループまたは2サイクルを持たない。

シード（種）には変異と呼ばれる変化があり異なるシード（種）に変わる。この変異は、団（クラスター）の要素（箙で言えば頂点）の1つ選択するとそれに応じて決まる。この新たに生じるシード（種）は、傾斜の一般化によって得られるが、それは次のような規則での交換行列Bの要素の変化と団（クラスター）{x, y, ...}との変化からなる。変異を定める団（クラスター）の要素（箙の頂点）をyとする。交換行列Bの変化は次の通り。団（クラスター）内のすべてのxについて、b_x,yおよびb_y,xの値を交換する。y以外の団（クラスター）の要素x,zについて、 b_x,y > 0 かつ b_y,z > 0である場合には、b_x,z を b_x,yb_y,z + b_x,zに置き換える。b_x,y < 0かつb_y,z < 0である場合には、b_x,z を -b_x,yb_y,z + b_x,zに置き換える。それ以外の場合（b_x,y b_y,z ≤ 0の場合）には、b_x,z は変えない。最後に、団（クラスター）{x, y, ...}の変化を説明する。 yを新しい生成要素wに、次のように置き換える。y以外の要素は変えない。

${\displaystyle wy=\prod _{t:\,b_{t,y}>0}t^{b_{t,y}}+\prod _{t:\,b_{t,y}<0}t^{-b_{t,y}}}$