事實とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/05/22 03:07 UTC 版)

「ガロア拡大での素イデアルの分解」の記事における「事実」の解説

上のような体の拡大が与えられると、不分岐な点は有限個しかない。 不分岐な場合には、ガロア群の作用の横断性により、上記で導入された体 Fj は、全て同型となる。言わば、有限体 F' となり、 F = A / p {\displaystyle F=A/p} を含む。数え上げると [ L : K ] / [ F ′ : F ] {\displaystyle [L:K]/[F':F]} が B での P の素因子の数に等しいことが分かる。軌道安定化公式により、この数は | G | / | D | {\displaystyle |G|/|D|} にも等しい。ここに定義により、p の 分解群である D は与えられた Pj をそれ自身へ写すことにより G の元の部分群である。すなわち、ガロア理論により L/K の次数と G の位数は等しいので、分解群 D の位数は剰余体拡大 F'/F の次数である。フロベニウス元の理論はさらに、j に対し D の元を同一視し、有限体の拡大のガロア群を生成する。 分岐する場合は、さらに惰性という現象があり、指数 e は任意の剰余体の拡大のガロア群と見なすことのできない G の元へ拡大されると解釈される。各々の分解群 D は、与えられた Pj に対し、Pj からそれ自身へ写像するが F j = B / P j {\displaystyle F_{j}=B/P_{j}} 上の恒等である自己同型を誘導する G の元 g からなる惰性群 I を含んでいる。 幾何学的な類似では、複素数や代数的閉体上の代数幾何学に対し、分解群と惰性群の概念は一致する。与えられたガロア分岐被覆に対し、前像(preimage)の同じ数を持つ点は有限個しかない。 ガロア的ではない拡大の素因子の分解は、始めは、分解体、つまり、いくらか大きなガロア拡大の研究から始めることができる。例えば、三次拡大（英語版）(cubic field)は普通、それらを含む次数 6 の体により正規化(regulated)されている。

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「傾理論」の記事における「事実」の解説

有限次元単位的結合多元環 A をとり、T を A 上の傾加群、B = EndA(T) とする。ここで F = HomA(T, –), F′ = ExtA1(T, –), G = – ⊗B T, G′ = TorB1(–, T) とおく。このとき F は G の右随伴であり、 F′ は G′ の右随伴である。 Brenner & Butler (1980) は傾関手が mod A と mod B のある部分圏の間に圏同値を与えることを示した。具体的には mod A の部分圏を F = ker ⁡ F {\displaystyle {\mathcal {F}}=\ker F} , T = ker ⁡ F ′ {\displaystyle {\mathcal {T}}=\ker F'} で定め、mod B の部分圏を X = ker ⁡ G {\displaystyle {\mathcal {X}}=\ker G} , Y = ker ⁡ G ′ {\displaystyle {\mathcal {Y}}=\ker G'} で定めると ( T , F ) {\displaystyle ({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})} は mod A における torsion pair であり、 ( X , Y ) {\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})} は mod B における torsion pair である。さらに関手 F, G の制限は T {\displaystyle {\mathcal {T}}} と Y {\displaystyle {\mathcal {Y}}} との間の圏同値を与え、関手 F′, G′ の制限は F {\displaystyle {\mathcal {F}}} と X {\displaystyle {\mathcal {X}}} との間の圏同値を与える。（これらの圏同値は torsion pairs ( T , F ) {\displaystyle ({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})} と ( X , Y ) {\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})} の順序を入れ替えていることに注意。） 傾理論は T を射影生成素とすれば森田同値が得られるので、森田理論の一般化とみることもできる；このとき T = mod ⁡ A {\displaystyle {\mathcal {T}}=\operatorname {mod} A} で Y = mod ⁡ B {\displaystyle {\mathcal {Y}}=\operatorname {mod} B} である。 もし A が大域次元有限ならば、 B が大域次元有限であり、F と F′ の差がグロタンディーク群 K0(A) と K0(B) の間の等長写像を誘導する。 もし A が遺伝的（つまり B が tilted algebra）で、B の大域次元が高々 2 ならば、torsion pair ( X , Y ) {\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})} は分裂する；つまり mod B のすべての直既約対象は X {\displaystyle {\mathcal {X}}} または Y {\displaystyle {\mathcal {Y}}} に属する。 Happel (1988) と Cline, Parshall, Scott (1986) は一般に A と B は導来同値（つまり導来圏 Db(mod A) と Db(mod B) とが三角圏（英語版）として同値）であることを示した。

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「直既約加群」の記事における「事実」の解説

すべての単純加群は直既約である。上の2つ目の例で示されているように逆は一般には成り立たない。 加群の自己準同型環を見ることで、加群が直既約かどうかわかる。自己準同型環が0でも1でもない冪等元をもたないことと同値である。（f が M のそのような冪等自己準同型であれば、M は ker(f) と im(f) の直和である。） 長さ有限の加群が直既約であることとその自己準同型環が局所環であることは同値である。長さ有限の直既約加群の自己準同型についてのより多くの情報はフィッティングの補題によって提供される。 長さ有限の状況において、直既約加群への分解はクルル・シュミットの定理によって特に役立つ。すべての長さ有限の加群は有限個の直既約加群の直和として書け、この分解は本質的に一意（直和成分が順番と同型を除いて一意という意味）である。

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「フラッティーニ部分群」の記事における「事実」の解説

群 G のフラッティーニ部分群 Φ(G) は G のすべての非生成元 (non-generators, non-generating elements) の集合に等しい。ここで G の非生成元とは常に生成集合から取り除くことができる元である。つまり X ∪ {c} が G の生成集合であるときには、X もまた G の生成集合であるような G の元 c を指す。 Φ(G) は G の特性部分群である。とくに、それは G の正規部分群である。 有限群 G の正規部分群 N が冪零である必要十分条件は N ′ ⊆ Φ(G) が成り立つことである。特にフラッティーニ部分群 Φ(G) は冪零であり、またフィッティング部分群 F(G) との間に F(G)′ ⊆ Φ(G) ⊆ F(G) という関係が成り立つ。 G が有限 p-群であれば、Φ(G) = G ′ Gp である。したがって、フラッティーニ部分群は商群 G/N が基本アーベル群、すなわち位数 p の巡回群の直和に同型であるような包含に関する最小の正規部分群 N である。さらに、商群 G/Φ(G) (G のフラッティーニ商 (Frattini quotient) とも呼ばれる）が位数 pk をもてば、k は G の生成元の最小の個数である（つまり G の生成集合の最小の濃度である）。とくに有限 p-群が巡回群であることとそのフラッティーニ商が（位数 p の）巡回群であることは同値である。有限 p-群が初等アーベルであることとそのフラッティーニ部分群が自明群、Φ(G) = {e} であることは同値である。 G = H × K が有限生成群であれば、Φ(G) = Φ(H) × Φ(K) である。

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「分解体」の記事における「事実」の解説

K の拡大体 L が、K 上の多項式からなる適当な集合に対して、同時にそれら全ての多項式の（それを一次式の積に分解することができるという意味で）分解体となっているとき、L は K の正規拡大であると言う。 K を含む代数閉体 A を固定して考えるとき、拡大 A/K の中間体で K 上の多項式 p の分解体となるものがただ一つ存在し、それは p の A における根を K に全て添加して得られる体に他ならない。K が複素数体の部分体ならば分解体の存在については直ちにいえるが、一般には代数閉包の存在がこの分解体に対する結果の「ある種の極限」として証明されることもしばしばであるので、循環論法を避けるためにはこれらは独立に証明されなければならない。 K の分離拡大 K' に対し、K' のガロワ閉包 (Galois closure) L は分解体の一種で、K の K' を含む最小のガロワ拡大を言う。そのようなガロワ閉包は各元 a ∈ K' の K 上の最小多項式として得られる全ての K-係数多項式に対する最小分解体を含まなければならない。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/15 04:03 UTC 版)

「超越次数」の記事における「事実」の解説

M/L が体の拡大で L/K がもう1つの体の拡大であれば、M/K の超越次数は M/L と L/K の超越次数の和に等しい。これは次のことを示すことによって証明される。M/K の超越基底は M/L の超越基底と L /K の超越基底の和集合をとることによって得られる。

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「Who are you?捏造報道」の記事における「事実」の解説

韓国では森同様「失言」で有名となった金泳三大統領に置き換えてジョークとして広まった。 この話は、英語を母国語としない外国人による挨拶の失敗例として取り上げられることもある。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/08 03:14 UTC 版)

「米兵轢き逃げ事件」の記事における「事実」の解説

在日米空軍横田基地に勤務する無級兵・被告人Xとその友人・空軍三等兵Mは、1965年（昭和40年）8月4日20時ごろ、Mが自身が所有する普通乗用自動車（以下、自動車）を運転し、Xが右側助手席に同乗して、在日米空軍立川基地から新宿方面へ走行していた。途中、Mの依頼を受けて、運転免許停止中にもかかわらずXが運転を交代し、新宿付近から甲州街道を立川方面へ運転していた。 22時28分ごろ、信号機の設置してある交差点に差しかかったところで、先行する2台の貨物自動車を追い越した。その際、被害者Yの自転車に自車を衝突させた（行為1）。Yは、道路左端をXらと同じ方向に自転車で走行していたが、前記交差点で右方向へ方向転換したところであった。Yは、ひかれた衝撃でXらの屋根の上にはね上げられて失神し、横たわったままになった。 Xらは、事故を起こしたことには気づいたが、逃走を図った。しかし、車の屋根の上にYがいることに気づかなかった。そのまま約4キロメートルほど走行した後、助手席に座っていたMがYに気づいた。そこでMは、Yを屋根の上から引きずり下ろしたため、Yはアスファルト舗装された路面に叩きつけられた（行為2）。しかし、Xらは、救護等必要な処置を行わず、その場から逃走した。 Yは、調布市内の病院に搬送されたが、翌日6時47分頃、死亡した。 その後、Xらは、横田基地内の米空軍憲兵隊へ自首した。

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「トウティ湖」の記事における「事実」の解説

バンドン工科大学（ITB）、インドネシア科学研究所（LIPI）、およびブラウン大学の研究者たちは、トウティ湖がインドネシアで最も古い古代湖であり、北スマトラの トバ湖よりもはるかに古いと宣言することで合意した。研究者たちの研究結果は、トウティ湖がインドネシアで最も包括的な気候史の「本」を保管していることも明らかにした。「歴史書」は下部に堆積層の形をしている。バンドン工科大学（ITB）の地質学者によると「トウティ湖に関する気候史の本は、インドネシアで最も厚く、最も近い「サトリアビジャクサナ」である。調査の結果、最も古い湖の1つの底にある堆積物が300メートルの厚さに達したことが明らかになった。堆積物は70万年前までの気候の歴史を保存していると予測されている。 16,000〜33,000千年前、湖は草地に囲まれていたように見えるが、それよりずっと前から現在まで、熱帯雨林に囲まれており、過去の気候変動の事実を示している。地質学者はまた、火山灰層を発見した。それは過去の火山噴火のヒントを与える。層がかなり厚いことについては、2つの可能性がある。一つは巨大な噴火の可能性であり、もう一つは、湖の近くに山がある可能性である。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/04/15 04:03 UTC 版)

「転用物訴権」の記事における「事実」の解説

Yからブルドーザーを借りていた会社Aから依頼を受けたXは、そのブルドーザーを修理をしてAに引き渡した。しかし、修理後まもなくその会社が倒産したため修理代金回収が極めて困難になった。一方Yは倒産した後、Xの修理の分だけ価値が大きくなったブルドーザーを取り戻し、他に売却した。そこでXは、(倒産した会社でなく)Yに対して修理代金の支払を求めた。 原審の福岡高等裁判所は、原告の請求を棄却した。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/03/16 13:59 UTC 版)

「関手圏」の記事における「事実」の解説

D において実行できるほとんどの構成は、「成分ごと」に、C の各対象に対してバラバラに実行することで、DC においても実行できる。例えば、D の任意の2つの対象 X と Y が積 X × Y を持つとき、DC の任意の2つの関手 F と G は次で定義される積 F × G を持つ：C の任意の対象 c に対して (F × G)(c) = F(c) × G(c). 同様に、ηc: F(c)→G(c) が自然変換で各 ηc が圏 D において核 Kc をもつとき、関手圏 DC における η の核は、C のすべての c に対して K(c) = Kc なる関手 K である。 結果として、関手圏 DC は D のほとんどの「よい」性質を共有するという一般的 rule of thumb（英語版） がある： D が完備（英語版）（あるいは余完備）ならば DC もそうである。； D がアーベル圏ならば DC もそうである； また次も成り立つ： C が任意の小さい圏ならば、前層（英語版）の圏 SetC はトポスである。 なので上の例から、有向グラフ、G 集合、位相空間上の前層の圏はすべて完備かつ余完備なトポスで、G の表現、環 R 上の加群、位相空間 X 上のアーベル群の前層の圏はすべてアーベル、完備、余完備であることがただちに結論付けられる。 先に述べた圏 C の関手圏への埋め込みは主な道具として米田の補題を用いる。C の任意の対象 X に対して、Hom(–, X) を C から Set への反変表現可能関手とする。米田の補題は割り当て X ↦ Hom ⁡ ( − , X ) {\displaystyle X\mapsto \operatorname {Hom} (-,X)} が圏 C の圏 Funct(Cop, Set) への充満埋め込みであると言っている。したがって C は自然にトポスの中にいる。 同じことは任意の前加法圏 C に対して実行できる：すると米田は C の関手圏 Add(Cop, Ab) への充満埋め込みを生む。したがって C は自然にアーベル圏の中にいる。 上でのべた直感（D で実行できる構成は DC に「持ち上げる」ことができること）はいくつかの方法で正確にできる；もっとも簡潔な定式化は随伴関手のことばを用いる。すべての関手 F: D → E は（F との合成により）関手 FC: DC → EC を誘導する。F と G が随伴関手の対であるとき、FC と GC もまた随伴関手の対である。 関手圏 DC は指数対象のすべての形式的な性質を有する；特に関手たち E × C → D は E から DC への関手たちと自然な1対1対応にある。関手が射であるすべての小さい圏の圏 Cat はしたがってデカルト閉圏である。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/05/29 04:32 UTC 版)

「フォン・ノイマン正則環」の記事における「事実」の解説

環 R について次は同値である。 R はフォン・ノイマン正則 すべての単項左イデアルはある1つのベキ等元によって生成される すべての有限生成左イデアルはある1つのベキ等元によって生成される すべての単項左イデアルは左 R-加群 R の直和因子である すべての有限生成左イデアルは左 R-加群 R の直和因子である 射影左 R-加群 P のすべての有限生成部分加群は P の直和因子である すべての左 R-加群は平坦である。これは R が 絶対平坦 であることや R の弱次元が0であることとしても知られている 左 R-加群のすべての短完全列は純完全（英語版） (pure exact) である 左を右に変えたものも R がフォン・ノイマン正則であることと同値である。 可換フォン・ノイマン正則環において、各元 x に対して唯一の元 y が存在して xyx=x かつ yxy=y となるので、x の「弱逆元」を選ぶカノニカルな方法がある。以下の主張は可換環 R に対して同値である。 R はフォン・ノイマン正則である。 R はクルル次元 0 で被約である。 極大イデアルにおける R のすべての局所化は体である。 R は x ∈ R の「弱逆元」（xyx=x かつ yxy=y であるような唯一の元 y）をとる操作で閉じている体の直積の部分環である。 また、以下も同値である。可換環 A に対して、 R = A / nil(A) はフォン・ノイマン正則である。 R のスペクトルは（ザリスキ位相で）ハウスドルフである。 Spec(A) に対して 可設位相（英語版） とザリスキ位相は一致する。 すべての半単純環はフォン・ノイマン正則であり、左（または右）ネーター的フォン・ノイマン正則環は半単純である。すべてのフォン・ノイマン正則環はジャコブソン根基が {0} であり、したがって半原始環（"ジャコブソン半単純"(Jacobson semi-simple) とも呼ばれる。）である。 上の例を一般化して、S を環として M を S-加群であって M のすべての部分加群が M の直和成分であるようなものとする（そのような加群 M は半単純加群と呼ばれる）。すると自己準同型環 EndS(M) はフォン・ノイマン正則である。とくに、すべての半単純環はフォン・ノイマン正則である。

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「サハラマラソン」の記事における「事実」の解説

競技中の食事はすべて競技者自身が自分で用意しなければならない。競技者は7日分の食料や飲み物、その他、寝袋、炊事道具、懐中電灯、コンパス、衣服、薬など諸々の必要な荷物（およそ6kg～13kg）を背負いながらマラソンをする。水とテントは運営側から提供される。 1994年のレースでは、イタリア人の警察官 Mauro Prosperi が砂漠の嵐で道を見失い、砂漠を10日間（後半5日間は遊牧民により保護）さまよい、13kgも体重を落としてしまった。彼は、灼熱の砂漠をさまよい、コウモリを捕まえ生き血を飲んで渇きをしのぎ、果ては水が尽きた事に絶望し手首を切り自殺まで図ったが、脱水症状により血液濃度が濃くなりすぎて血が流れ出てこなかった。その後彼は遊牧民の一団に発見され救助された。 2008年の大会は、登録費は 2550ユーロ＋税であった。 2008年までにおいて、モロッコの Lahcen Ahansal が10のタイトルをとり、彼の兄弟のMohammed Ahansal が2つのタイトルをとった。 2007年までに、2人の競技者がレースで死亡した。 2008年は、801名が参加し、うち日本人が10名であった。 2010年現在、女性の完走者最高齢記録は75歳で、フランス人である。日本人の完走最高齢は73歳の女性。 タレントの梅宮アンナが2010年に参加し（初日リタイア）、ワッキーが2012年にNHKの番組企画で参加する「サハラ砂漠マラソン（サハラレース SAHARA RACE）」（エジプトにて、2005年より毎年10月開催）と混同されるケースが多い（ワッキー、梅宮の報道資料にミスがあったため）。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/04/12 13:31 UTC 版)

「ブリッジマン・アート・ライブラリ対コーレル・コーポレーション事件」の記事における「事実」の解説

事件は、ブリッジマン・アート・ライブラリが製作した、パブリックドメインに属する絵画を元とする高画質のスライド写真を、コーレル・コーポレーションが再利用する権利に対し、ブリッジマン・アート・ライブラリが異議を唱えたことに端を発する。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/10/21 04:05 UTC 版)

「ドナルドソン・トーマス不変量」の記事における「事実」の解説

モジュライ空間 M のドナルドソン・トーマス不変量は、M のウェイト付きオイラー特性数に等しい。ウェイト付き函数は、超平面特異点のミルナー数の類似物と M のすべての点を結び付ける。

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