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フィッティングの補題

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/05 09:50 UTC 版)

数学において、フィッティング（英語版）の補題 (Fitting lemma) は、M が直既約加群で長さ有限であれば M のすべての自己準同型は全単射であるかさもなくば冪零であるという代数学の定理である。この定理から M の自己準同型環は局所環であることが従う。

$M$ が長さ $n$ が有限の加群で $f$ が $M$ の自己準同型であるならば^[1]

M=\ker(f^{n})\oplus \mathrm {im} (f^{n}).

$M$ の長さについての仮定より

\ker(f^{n+1})=\ker(f^{n})\quad {\text{and}}\quad \mathrm {im} (f^{n+1})=\mathrm {im} (f^{n})

が成り立つ。この等式のそれぞれから

\ker(f^{n})\cap \mathrm {im} (f^{n})=0\quad {\text{and}}\quad \ker(f^{n})+\mathrm {im} (f^{n})=M

を得る。

^ (en) Alberto Facchini, Module Theory: Endomorphism Rings and Direct Sum Decompositions in Some Classes of Modules, Birkhäuser, coll. « Progress in Mathematics » (n^o 167),‎ 1998 (ISBN 978-3-76435908-9, lire en ligne), p. 47
^ (en) Louis Halle Rowen, Ring Theory, vol. 1, Academic Press, coll. « Pure and applied mathematics » (n^o 127),‎ 1988 (ISBN 978-0-12599841-3, lire en ligne), p. 239
^ (en) Paul M. Cohn, Introduction to Ring Theory, Springer, coll. « Undergraduate Mathematics Series »,‎ 2000 (ISBN 978-1-85233206-8, lire en ligne), p. 80-81