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方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/13 15:03 UTC 版)

「ストナー-ヴォールファールト模型」の記事における「方程式」の解説

ストナー-ヴォールファールト模型では、このシステムのエネルギーを次のように与える E = K u V sin 2 ⁡ ( ϕ − θ ) − μ 0 M s V H cos ⁡ ϕ , {\displaystyle E=K_{u}V\sin ^{2}\left(\phi -\theta \right)-\mu _{0}M_{s}VH\cos \phi ,\,} (1) ここでVは強磁性体の体積、Msは飽和磁化、μ0は真空の透磁率である。上式の第一項は磁気異方性を第二項は印加された磁場との（しばしばゼーマンエネルギーと呼ばれる）相互作用を表す。またストナーとヴォールファールトはこの式を以下のように無次元化した η = E 2 K u V = 1 4 − 1 4 cos ⁡ ( 2 ( ϕ − θ ) ) − h cos ⁡ ϕ , {\displaystyle \eta ={\frac {E}{2K_{u}V}}={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}\cos \left(2\left(\phi -\theta \right)\right)-h\cos \phi ,\,} (2) ここで h = μ0MsH/2Kuと定義される。磁化の方向に関して力の釣り合いが保たれる点を探したい。そのような釣り合いは磁化の方向に関するエネルギーの一回微分がゼロとなる点で起こる。 ∂ η ∂ ϕ = 1 2 sin ⁡ ( 2 ( ϕ − θ ) ) + h sin ⁡ ϕ = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial \phi }}={\frac {1}{2}}\sin \left(2\left(\phi -\theta \right)\right)+h\sin \phi =0.\,} (3) もしこの点がエネルギーの極小値であれば、この釣り合い点は力学的に安定となる。すなわちエネルギーの２回微分が以下を満たすときである。 ∂ 2 η ∂ ϕ 2 = cos ⁡ ( 2 ( ϕ − θ ) ) + h cos ⁡ ϕ > 0. {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial \phi ^{2}}}=\cos \left(2\left(\phi -\theta \right)\right)+h\cos \phi >0.\,} (4) 磁場が全くない時は磁気異方性の項は磁化が容易化軸方向を向いている時に最小化され、大きな磁場がかかっている時には磁化は磁場の方向を向くことが確かめられる。

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方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/03 16:49 UTC 版)

「原子位置の平均二乗偏差」の記事における「方程式」の解説

R M S D = 1 N ∑ i = 1 N δ i 2 {\displaystyle \mathrm {RMSD} ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{i}^{2}}}} ただし、δi は座標変換された i 番目の原子と参照構造で対応する原子との距離である。これは、たびたび炭素・酸素・窒素といったタンパク質主鎖での相対的に重い原子で計算され、Cα（アミノ酸中心炭素原子）のみで計算されることもある。タンパク質が並進・回転移動を経て RMSDを最小化する最も適した重ね合わせが得られると、この最小値が値として用いられる。 n {\displaystyle n} 個の二組のベクトル v {\displaystyle \mathbf {v} } と w {\displaystyle \mathbf {w} } が与えられると、RMSDは以下のようにも表される。 R M S D ( v , w ) = 1 n ∑ i = 1 n ‖ v i − w i ‖ 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( ( v i x − w i x ) 2 + ( v i y − w i y ) 2 + ( v i z − w i z ) 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {RMSD} (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )&={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\|v_{i}-w_{i}\|^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}((v_{ix}-w_{ix})^{2}+(v_{iy}-w_{iy})^{2}+(v_{iz}-w_{iz})^{2}}})\end{aligned}}} RMSDは長さの単位で表され、最も多く用いられている単位はオングストローム (Å) である。

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方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/10/10 15:44 UTC 版)

「非線形シュレディンガー方程式」の記事における「方程式」の解説

空間的変数x、時間的変数tを持つ複素数値関数φ=φ(x, t)に対し、次の非線形偏微分方程式 i ϕ t + p ϕ x x + q | ϕ | 2 ϕ = 0 ( i = − 1 ) {\displaystyle i\phi _{t}+p\phi _{xx}+q|\phi |^{2}\phi =0\qquad (i={\sqrt {-1}})} を（一次元）非線形シュレディンガー方程式と呼ぶ。但し、右下の添え字は各変数に対する偏微分を表しており、p、q は定数である。変数の適当なスケール変換の下では、 i ϕ t + ϕ x x + 2 ϵ | ϕ | 2 ϕ = 0 ( ϵ = ± 1 ) {\displaystyle i\phi _{t}+\phi _{xx}+2\epsilon |\phi |^{2}\phi =0\qquad (\epsilon =\pm 1)} の形に帰着させることができる。ここでε=±1はpq の符号に対応する。この方程式は、1次元シュレディンガー方程式のポテンシャル関数V の項を非線形項-2ε|φ|2に置き換えた形となっている。ε=-1の場合は、斥力型のポテンシャルの場合に対応する。一方、ε=+1の場合、引力型のポテンシャルの場合に対応し、自己集束の効果を表す。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/12/22 16:09 UTC 版)

「アーネシの曲線」の記事における「方程式」の解説

円の半径を a とすると（c=2a）、曲線の方程式はこうなる。 y = 8 a 3 x 2 + 4 a 2 {\displaystyle y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}} a = 1/2 のとき、この方程式は次のとおり単純になる。 y = 1 x 2 + 1 {\displaystyle y={\frac {1}{x^{2}+1}}} t による媒介変数表示によって、次式で表すこともできる： x = 2 a t , y = 2 a t 2 + 1 {\displaystyle x=2at,\quad y={\frac {2a}{t^{2}+1}}} θ {\displaystyle \theta \,} を OM と OA とのなす角（時計回り）とすると、曲線は次式でも表せる。 x = 2 a tan ⁡ θ , y = 2 a cos 2 ⁡ θ {\displaystyle x=2a\tan \theta ,\quad y=2a\cos ^{2}\theta } θ {\displaystyle \theta \,} を x 軸と OA とのなす角（反時計回り）とすると、曲線は次式でも表せる。 x = 2 a cot ⁡ θ , y = 2 a sin 2 ⁡ θ {\displaystyle x=2a\cot \theta ,\quad y=2a\sin ^{2}\theta }

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/07 08:20 UTC 版)

「パウリ方程式」の記事における「方程式」の解説

ベクトルポテンシャル A {\displaystyle \mathbf {A} } とスカラーポテンシャル ϕ {\displaystyle \phi } で記述される電磁場中の、質量 m {\displaystyle m} 、電荷 q {\displaystyle q} の粒子のパウリ方程式は Pauli equation (general) [ 1 2 m ( σ ⋅ ( p − q A ) ) 2 + q ϕ ] | ψ ⟩ = i ℏ ∂ ∂ t | ψ ⟩ {\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle } ここで σ = ( σ x , σ y , σ z ) {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})} はパウリ行列を簡便性のためベクトルの形に並べたもの、 p = − i ℏ ∇ {\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \nabla } は運動量演算子。 | ψ ⟩ = [ ψ + ψ − ] {\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{bmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{bmatrix}}} は2成分スピノルの波動関数で、列ベクトルをブラ-ケット記法で表している。ハミルトニアン H ^ = 1 2 m [ σ ⋅ ( p − q A ) ] 2 + q ϕ {\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} )\right]^{2}+q\phi } は、パウリ行列が含まれるため 2 × 2 行列である。これをシュレーディンガー方程式に代入して得られるのがパウリ方程式である。このハミルトニアンは電磁場と相互作用する電荷の古典的ハミルトニアンの類似物である。古典の場合の詳細についてはローレンツ力を参照。電磁場がないときの自由粒子の運動エネルギー項は、運動量を用いて単純に p 2 2 m {\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}} となるが、電磁場が存在するときは最小結合（英語版）により P = p − q A {\displaystyle \mathbf {P} =p-q\mathbf {A} } （正準運動量）のように取り込まれる。パウリベクトルの恒等式： ( σ ⋅ a ) ( σ ⋅ b ) = a ⋅ b + i σ ⋅ ( a × b ) {\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} )({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)} を使うとパウリ行列を運動エネルギー項から除くことができて、 Pauli equation (standard form) H ^ | ψ ⟩ = [ 1 2 m [ ( p − q A ) 2 − q ℏ σ ⋅ B ] + q ϕ ] | ψ ⟩ = i ℏ ∂ ∂ t | ψ ⟩ {\displaystyle {\hat {H}}|\psi \rangle =\left[{\frac {1}{2m}}\left[\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle } が得られる。ここで B = ∇ × A {\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} } は磁場。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 13:51 UTC 版)

「バーガース方程式」の記事における「方程式」の解説

時間変数t と空間変数x の関数u (x, t )についての非線形偏微分方程式 ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x = ν ∂ 2 u ∂ x 2 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}} をバーガース方程式という。ここで、定数ν>0は動的粘性率である。uuxの項は移流項、uxxは散逸項と呼ばれる。ν=0で散逸項がない場合、波の突っ立ちにより、解は多価関数となり、波の崩壊が生じるが、ν>0の場合には、散逸項により、崩壊が抑えられるため、波が伝播する。バーガース方程式は非線形項uuxを持つ非線形偏微分方程式であるが、コール・ホップ変換（Cole-Hopf transformation）と呼ばれる変数変換 u = − 2 ν ∂ ∂ x log ⁡ ψ = − 2 ν ψ x ψ {\displaystyle {\begin{aligned}u&=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\log {\psi }\\&=-2\nu {\frac {\psi _{x}}{\psi }}\end{aligned}}} によって、線形な拡散方程式 ∂ ψ ∂ t = ν ∂ 2 ψ ∂ x 2 {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}} に帰着させることができる。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:18 UTC 版)

「フリードマン方程式」の記事における「方程式」の解説

一様で等方な時空であるFLRW計量を仮定する； d s 2 = − c 2 d t 2 + a ( t ) 2 [ d r 2 1 − k r 2 + r 2 ( d θ 2 + sin 2 θ d ϕ 2 ) ] {\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+a(t)^{2}\left[{\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}}}+{r}^{2}\!\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\phi ^{2}\right)\right]} a ( t ) {\displaystyle a(t)} は、宇宙のスケール因子（膨張因子）と呼ばれる量で、時刻 t {\displaystyle t} での宇宙の大きさを相対的に示す量である。 k {\displaystyle k} は、時空に仮定する曲率で、曲率の正・負・ゼロに対応して、 k = + 1 , − 1 , 0 {\displaystyle k{=}+1,\,-1,\,0} の値を取る。物質分布は完全流体であると仮定する。すなわち、エネルギー・運動量テンソルを以下のように仮定する； T μ ν = P g μ ν + ( P + ρ c 2 ) u μ u ν {\displaystyle T_{\mu \,\nu }=Pg_{\mu \,\nu }+(P+\rho c^{2})\,u_{\mu }u_{\nu }\,} P {\displaystyle P} は圧力、 ρ {\displaystyle \rho } は密度。 u μ {\displaystyle u_{\mu }} は観測者の4元速度ベクトル（共動座標系ならば u μ = ( c , 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle u_{\mu }=(c,0,0,0)} ）である。以上の仮定のもとに、宇宙項（宇宙定数 Λ {\displaystyle \Lambda } ）を持つアインシュタイン方程式を書き下すと、次のフリードマン方程式が得られる。 ( a ˙ a ) 2 + k c 2 a 2 − Λ c 2 3 = 8 π G 3 ρ {\displaystyle \left({\frac {\,{\dot {a}}\,}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}={\frac {8\pi G}{3}}\rho } 2 a ¨ a + ( a ˙ a ) 2 + k c 2 a 2 − Λ c 2 = − 8 π G c 2 P {\displaystyle 2{\frac {\,{\ddot {a}}\,}{a}}+\left({\frac {\,{\dot {a}}\,}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-\Lambda c^{2}=-{\frac {8\pi G}{c^{2}}}P} 第2式はエネルギー・運動量保存則を仮定すれば、第1式より導出されるので、実質的に宇宙のダイナミクス（力学的ふるまい）は第1式で与えられる。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/07 11:50 UTC 版)

「理想気体の状態方程式」の記事における「方程式」の解説

熱力学温度 T、圧力 p の下で、物質量 n の理想気体が占める体積 V が p V = n R T {\displaystyle pV=nRT} で与えられる。ここで係数 R はモル気体定数である。この式が理想気体の状態方程式であり、ボイルの法則、シャルルの法則（あるいは合わせてボイル＝シャルルの法則）と体積の示量性から導かれる。実在気体の場合は、気体は近似的にこの方程式に従い、式の有効性は気体の密度が0に近づき（低圧になり）、かつ高温になるにつれて高まる。何故なら、密度が0に近付けば、分子の運動に際し、お互いがぶつからずに、分子自身の体積が無視できるようになる。また、高温になることによって、分子の運動が高速になり、分子間力（ファンデルワールス力）が無視出来るようになるからである。

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方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/27 05:58 UTC 版)

「ナイルの放物線」の記事における「方程式」の解説

落下の初期位置を含む鉛直線と地表の交点を原点とし、鉛直上方にz軸、東の方向にy軸をとると、落体が描く経路は、 y = ω 3 cos ⁡ α 8 ( h − z ) 3 g {\displaystyle y={\frac {\omega }{3}}\cos \alpha {\sqrt {\frac {8(h-z)^{3}}{g}}}} という方程式で表される。ここで、 ω：地球の自転の角速度 α：落体の緯度 h：落体の初期位置のz座標 g：重力加速度である。

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方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/14 14:53 UTC 版)

「化学浸透」の記事における「方程式」の解説

プロトン駆動力はギブズエネルギーに由来する。Nを細胞の内側、Pを細胞の外側とすると次のように表される。 Δ G = z F Δ ψ + R T ln ⁡ [ X z + ] N [ X z + ] P {\displaystyle \Delta \!G=zF\Delta \!\psi +RT\ln {\frac {[\mathrm {X} ^{z+}]_{\text{N}}}{[\mathrm {X} ^{z+}]_{\text{P}}}}} Δ G {\displaystyle \Delta \!G} はPからNへ移動したカチオンの単位量当たりのギブズエネルギー変化 z {\displaystyle z} はカチオン X z + {\displaystyle \mathrm {X} ^{z+}} の電荷数 Δ ψ {\displaystyle \Delta \psi } はPに対するNの電位 [ X z + ] P {\displaystyle [\mathrm {X} ^{z+}]_{\text{P}}} と [ X z + ] N {\displaystyle [\mathrm {X} ^{z+}]_{\text{N}}} はそれぞれPとNでのカチオン濃度 F {\displaystyle F} はファラデー定数 R {\displaystyle R} は気体定数 T {\displaystyle T} は温度 1モルあたりのギブズエネルギー変化 Δ G {\displaystyle \Delta \!G} は、しばしば1モルあたりの電気化学ポテンシャルとして解釈される。 Δ μ X z + = Δ G {\displaystyle \Delta \!\mu _{\mathrm {X} ^{z+}}=\Delta \!G} プロトンの電気化学的勾配に関しては z = 1 {\displaystyle z=1} であり、したがって次のように表される。 Δ μ H + = F Δ ψ + R T ln ⁡ [ H + ] N [ H + ] P = F Δ ψ − ( ln ⁡ 10 ) R T Δ p H {\displaystyle \Delta \!\mu _{\mathrm {H} ^{+}}=F\Delta \!\psi +RT\ln {\frac {[\mathrm {H} ^{+}]_{\text{N}}}{[\mathrm {H} ^{+}]_{\text{P}}}}=F\Delta \!\psi -(\ln 10)RT\Delta \mathrm {pH} } ただし Δ p H = p H N − p H P {\displaystyle \Delta \!\mathrm {pH} =\mathrm {pH} _{\mathrm {N} }-\mathrm {pH} _{\mathrm {P} }} . ミッチェルはプロトン駆動力 Δ p {\displaystyle \Delta \!p} を次のように定義した。 Δ p = − Δ μ H + F {\displaystyle \Delta \!p=-{\frac {\Delta \!\mu _{\mathrm {H^{+}} }}{F}}} . 例えば、 Δ μ H + = 1 k J m o l − 1 {\displaystyle \Delta \!\mu _{\mathrm {H} ^{+}}=1\,\mathrm {kJ} \,\mathrm {mol} ^{-1}} のとき、 Δ p = 10.4 m V {\displaystyle \Delta \!p=10.4\,\mathrm {mV} } である。 298 K {\displaystyle 298\,\mathrm {K} } では、 Δ p {\displaystyle \Delta \!p} は次のようになる。 Δ p = − Δ ψ + ( 59.1 m V ) Δ p H {\displaystyle \Delta \!p=-\Delta \!\psi +\left(59.1\,\mathrm {mV} \right)\Delta \!\mathrm {pH} } . P側（相対的に陽極で酸性）からN側（相対的に陰極で塩基性）への自発的なプロトンの移動に関しては、 Δ μ H + {\displaystyle \Delta \!\mu _{\mathrm {H} ^{+}}} は（ Δ G {\displaystyle \Delta \!G} と同様に）負となるが、プロトン駆動力は（酸化還元電位 Δ E {\displaystyle \Delta E} と同様に）正となる。他の膜輸送過程と同様、プロトン駆動力には方向性がある。膜電位 Δ ψ {\displaystyle \Delta \!\psi } は、細胞内へ流入する単位電荷あたりの電位変化を表すように選ばれる。さらに、共役部位での酸化還元反応によるプロトンの汲み上げのため、プロトン勾配は常に内側が塩基性となる。これらの理由のため、プロトン駆動力は自発的なプロトンの流入のために定義されている。共役部位でのプロトンの汲み上げといったプロトンの排出のためのプロトン駆動力は、単純に流入のためのプロトン駆動力を負にした値となる。プロトンの（P側からN側への）流入の自発性は、すべての生体膜に共通である。このことは1990年代までは認識されておらず、それは葉緑体のチラコイドルーメンが内側の相であると解釈されていたためであるが、実際にはルーメンは葉緑体外部とトポロジー的に等価である。Azzoneらは、内相（膜のN側）は、細菌では細胞質、ミトコンドリアではマトリックス、葉緑体ではストロマであり、外相（膜のP側は）、細菌ではペリプラズム、ミトコンドリアでは膜間腔、葉緑体ではルーメンであることを強調した。さらに、ミトコンドリア内膜の3D トモグラフィーによって、内膜に多く存在する陥入部はチラコイドのディスクのようにスタッキングしており、したがってミトコンドリア膜間腔がトポロジー的に葉緑体ルーメンにきわめて類似していることが示された。ここでギブズエネルギー、電気化学的勾配、またはプロトン駆動力として表されたエネルギーは、膜を挟んだ 2つの勾配、濃度勾配（ Δ p H {\displaystyle \Delta \!\mathrm {pH} } ）と電位勾配（ Δ ψ {\displaystyle \Delta \!\psi } ）の組み合わせである。系が平衡に達したとしても、必ずしも膜の両側の濃度が等しくなるわけではない。 ATP合成（ A D P 4 − + H + + H O P O 3 2 − → A T P 4 − + H 2 O {\displaystyle \mathrm {ADP} ^{4-}+\mathrm {H} ^{+}+\mathrm {HOPO} _{3}^{2-}\rightarrow \mathrm {ATP} ^{4-}+\mathrm {H_{2}O} } ）の1モル当たりのギブズエネルギー（ Δ G p {\displaystyle \Delta \!G_{\mathrm {p} }} ）はリン酸化ポテンシャル（phosphorylation potential）とも呼ばれる。平衡濃度比 [ H + ] / [ A T P ] {\displaystyle [\mathrm {H} ^{+}]/[\mathrm {ATP} ]} は、 Δ p {\displaystyle \Delta \!p} と Δ G p {\displaystyle \Delta \!G_{\mathrm {p} }} を比較して計算することで得られる。例えば、哺乳類のミトコンドリアの場合は、次のようになる[要検証 – ノート]。 H+ / ATP = ΔGp / (Δp / 10.4 kJ·mol−1/mV) = 40.2 kJ·mol −1 / (173.5 mV / 10.4 kJ·mol−1/mV) = 40.2 / 16.7 = 2.4 実際にプロトンを結合するcサブユニットとATPを合成する βサブユニットのコピー数の比は 8/3 = 2.67 であり、この状況ではミトコンドリアは90%（2.4/2.67）の効率で機能することが示される。真核生物の細胞では、ATPはマトリックスから細胞質へ、ADPとリン酸は細胞質からマトリックスへ輸送される必要があるため、実際の熱力学的効率はもっと低くなる。この過程でATP1 分子あたり1つのプロトンが余分に消費されるため、実際の効率は65%（2.4/3.67）である。

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方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/05 02:06 UTC 版)

「状態方程式 (宇宙論)」の記事における「方程式」の解説

完全気体（英語版）の状態方程式は以下のように書くことができる。 p = ρ m R T = ρ m C 2 {\displaystyle \!p=\rho _{m}RT=\rho _{m}C^{2}} ここで、 ρ m {\displaystyle \!\rho _{m}} は物質の密度、 R {\displaystyle \!R} は特殊気体定数、 T {\displaystyle \!T} は温度、 C = R T {\displaystyle \!C={\sqrt {RT}}} は特徴的な分子の熱力学的速度（英語版）である。”冷たい”気体に対しては c {\displaystyle \!c} を光速として、 C << c {\displaystyle \!C<<c} となるので、 w = p ρ = ρ m C 2 ρ m c 2 = C 2 c 2 ≈ 0 {\displaystyle w={\frac {p}{\rho }}={\frac {\rho _{m}C^{2}}{\rho _{m}c^{2}}}={\frac {C^{2}}{c^{2}}}\approx 0} すなわち、 ρ = ρ m c 2 {\displaystyle \!\rho =\rho _{m}c^{2}} となる。

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方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/16 15:32 UTC 版)

「HP 35s」の記事における「方程式」の解説

変数とプログラムだけでなく、ユーザーはこの電卓にいくつもの方程式を格納することが可能である。この文脈における「方程式」は、数式 ( f(x,...) )、等式 ( f1(x,...) = f2(x,...) )、そして代入 ( y = f(x,...) ) を意味する。これらは異なった方法でそれぞれ処理される。方程式は一般的に命名された変数を含んでいる。変数の値は実行中にユーザーによって入力される。しかし、スタックから値をとることもできる。方程式は RPN 入力モードが有効であるときでさえ中置記法で入力される。方程式は EQN キーでアクセスされるリストに格納され、ユーザーはリストをスクロールしたり、方程式を追加、編集、そして削除することができる。そして、方程式を処理するために1つの方程式を選択する。方程式は多くの方法で処理される。方程式は、⏎ Enter あるいは XEQ を使って評価される。ユーザーは方程式に含まれる変数の値を入力するように促される。代入の場合、目標変数が結果を受け取る。方程式は、SOLVE を使って含まれている変数のどれか1つのために解かれる。他の変数の値をユーザーに入力するように促した後で、要求される変数の値を分離しようと試みるロジックを使う。この処理は時間がかかり、方程式は1つ以上の解を持っているので、2つの「推測値」によって導かれる。2つの推測値は、ユーザーによってスタックの X レジスタと要求される変数の中に入力されていると仮定する。方程式は、 ∫ を使って積分される。ユーザーは最初にスタックに積分区間の上限と下限を置く、それから方程式と ∫ を選択する。∫ は積分される変数名と他の変数の値を入力するように促す。方程式リストの中に 2つの組込済み機能も存在する。線型方程式系において全ての変数を解くことを可能にする。2変数を持つ2つの方程式と3変数を持つ3つの方程式の系に対応している。方程式を解いたり、特に積分をすることは、時間とメモリを消費する。表示精度を低下させたり、十分なメモリが利用できることを確実にすることによって、効率は改善される。方程式の内容は方程式が処理されるまで確認されないので、文章を含むあらゆる文字列を含んでいるかもしれない。このことは方程式リストの中に文字列を含ませるために利用されるかもしれない（このページの最上部の写真で示すように）。

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方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/31 07:52 UTC 版)

「フランク＝タムの公式」の記事における「方程式」の解説

単位長さおよび単位周波数幅あたりに放出されるエネルギーについて d 2 E d x d ω = q 2 4 π μ ( ω ) ω ( 1 − c 2 v 2 n 2 ( ω ) ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}E}{\mathrm {d} x\,\mathrm {d} \omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi }}\mu (\omega )\omega {\left(1-{\frac {c^{2}}{v^{2}n^{2}(\omega )}}\right)}} となる。ただし、このとき条件として、β = v/c > 1/n(ω) が課される。ここで、μ(ω) と n(ω) はそれぞれ周波数に依存する透磁率と屈折率で、q は荷電粒子の電荷、v は荷電粒子の速度、c は真空中での光速を指す。チェレンコフ放射線は、蛍光や放出スペクトルの特徴的なピークは持たない。周波数ごとの相対強度はおおまかには周波数に比例している。高周波数（短波長）ではより強いため、可視光領域のチェレンコフ放射は青白く見え、実際チェレンコフ放射は紫外線領域にある。単位長さあたりに放射される全エネルギーは、荷電粒子の速度 v が物質中の光速 c/n(ω) より大きい領域での周波数 ω に関する積分 d E d x = q 2 4 π ∫ v > c n ( ω ) μ ( ω ) ω ( 1 − c 2 v 2 n 2 ( ω ) ) d ω {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} x}}={\frac {q^{2}}{4\pi }}\int _{v>{\frac {c}{n(\omega )}}}\mu (\omega )\omega {\left(1-{\frac {c^{2}}{v^{2}n^{2}(\omega )}}\right)}\mathrm {d} \omega } で得られ、十分に高周波な領域では屈折率は1になるため、この積分は収束する。

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方程式

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「ビネ方程式」の記事における「方程式」の解説

軌道の形は相対距離 r を角度 θ の関数として表わすのが便利なことが多い。ビネ方程式の場合、軌道の形は距離の逆数 u = 1/r を角度 θ の関数として表現する。比角運動量を h = L/m のように定義する。ここで、L は角運動量、m は質量である。すると、ビネ方程式は次のように表わされる。 F ( u − 1 ) = − m h 2 u 2 ( d 2 u d θ 2 + u ) {\displaystyle F({u}^{-1})=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)}

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方程式

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「ファンデルワールスの状態方程式」の記事における「方程式」の解説

ファン・デル・ワールスの状態方程式においては、熱力学温度 T、モル体積 Vm の平衡状態における圧力が p = R T V m − b − a V m 2 {\displaystyle p={\frac {RT}{V_{\text{m}}-b}}-{\frac {a}{{V_{\text{m}}}^{2}}}} で表される。係数 a,b は実在気体の理想気体からのずれを表現するパラメータで気体の種類ごとに定まり、ファン・デル・ワールス定数と呼ばれる。より実験を再現するように R もパラメータとすることも出来るが、低密度領域 a/Vm≪RT、b/Vm≪1 で理想気体に近い振る舞いをするように、通常は R をモル気体定数と等しく選ぶ。

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方程式

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「オーレン・ネイヤー反射」の記事における「方程式」の解説

オーレン・ネイヤー反射率モデルで使用されるサーフェスのラフネスのモデルはTorranceとSparrowによって提案されたマイクロファセットモデルから導き出されたもので、サーフェスを長いシンメトリックなV字型の凹みのあつまりで構成されているものと仮定する。それぞれの凹みは２つの平面のファセットで構成されているものとする。サーフェスのラフネスは、ファセットの傾斜の分布を示す確率密度関数を用いて明示される。特に正規分布が用いられる事が多いので、正規分布の分散を表す「 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} 」がサーフェスのラフネスの尺度として用いられる。ファセットの傾斜の標準偏差（サーフェスの高さの勾配）「 σ {\displaystyle \sigma } 」は [ 0 , ∞ ] {\displaystyle [0,\infty ]} の範囲で表される。オーレンネイヤー反射では、各ファセットはランバート反射であると仮定される。右図に示したように、入射光の放射輝度を L i {\displaystyle L_{i}} とし、反射光の放射輝度を L r {\displaystyle L_{r}} とすると、オーレンネイヤー反射率モデルに従い、 L r = ρ π ⋅ cos ⁡ θ i ⋅ ( A + ( B ⋅ max [ 0 , cos ⁡ ( ϕ i − ϕ r ) ] ⋅ sin ⁡ α ⋅ tan ⁡ β ) ) ⋅ L i {\displaystyle L_{r}={\frac {\rho }{\pi }}\cdot \cos \theta _{i}\cdot (A+(B\cdot \max[0,\cos(\phi _{i}-\phi _{r})]\cdot \sin \alpha \cdot \tan \beta ))\cdot L_{i}} ここで A = 1 − 0.5 σ 2 σ 2 + 0.33 {\displaystyle A=1-0.5{\frac {\sigma ^{2}}{\sigma ^{2}+0.33}}} , B = 0.45 σ 2 σ 2 + 0.09 {\displaystyle B=0.45{\frac {\sigma ^{2}}{\sigma ^{2}+0.09}}} , α = max ( θ i , θ r ) {\displaystyle \alpha =\max(\theta _{i},\theta _{r})} , β = min ( θ i , θ r ) {\displaystyle \beta =\min(\theta _{i},\theta _{r})} , また、 ρ {\displaystyle \rho } はサーフェスのアルベド、 σ {\displaystyle \sigma } はサーフェスのラフネスとし、 σ = 0 {\displaystyle \sigma =0} の場合を考えると（すべてのサーフェスが同一平面である場合など）、 A = 1 {\displaystyle A=1} 、 B = 0 {\displaystyle B=0} となり、従ってオーレンネイヤー反射はランバート反射に単純化されることとなる。 L r = ρ π ⋅ cos ⁡ θ i ⋅ L i {\displaystyle L_{r}={\frac {\rho }{\pi }}\cdot \cos \theta _{i}\cdot L_{i}}

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方程式

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「拡散方程式」の記事における「方程式」の解説

方程式は一般に以下のように書かれる。 ∂ ϕ ∂ t = ∇ ⋅ ( D ( ϕ , r → , t ) ∇ ϕ ( r → , t ) ) {\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=\nabla \cdot {\bigg (}D(\phi ,{\vec {r}},t)\,\nabla \phi ({\vec {r}},t){\bigg )}} ただし、 r → {\displaystyle {\vec {r}}} は位置、 t {\displaystyle t} は時刻、 ϕ ( r → , t ) {\displaystyle \,\phi ({\vec {r}},t)} は拡散物質の密度、 D ( ϕ , r → , t ) {\displaystyle D(\phi ,{\vec {r}},t)} は拡散係数（2階のテンソル量）、ナブラ ∇ {\displaystyle \,\nabla } は空間微分作用素である。拡散係数 D {\displaystyle D} が定数ならば、方程式は以下の線形方程式に帰着される。 ∂ ϕ ∂ t = D ∇ 2 ϕ ( r → , t ) {\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=D\nabla ^{2}\phi ({\vec {r}},t)} D が他の変数に依存する場合方程式は非線形となる。さらに、D が正定値対称行列であれば方程式は異方的拡散となる。