アーネシの曲線

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アーネシの曲線

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/11/18 10:03 UTC 版)

アーネシの曲線。c = 1（赤）、2（青）、3（緑）

アーネシの曲線（アーネシのきょくせん） (伊: la versiera di Agnesi, 英: witch of Agnesi) またはアーネシの魔女は直交座標における方程式

${\displaystyle y={\frac {c^{3}}{x^{2}+c^{2}}}}$

アーネシの曲線

原点 O と y 軸上の点 M を結ぶ線分を直径とする円がある。 原点 O から円上の点 A に直線 OA を引く。 直線 OA は M から x 軸と平行に引いた直線と、点 N で交わる。 点 N から線分 OM と平行な直線を引き、これが点 A から x 軸と平行に引いた直線と交わる点を P とする。 A の変化につれて P が描く軌跡が、アーネシの曲線である。

方程式

アーネシの曲線をアニメーションで表現したもの

円の半径を a とすると（c=2a）、曲線の方程式はこうなる。

${\displaystyle y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}}$

アーネシの曲線で a=1, a=2, a=4, a=8 としたグラフ

• y 軸に対して線対称であり、x 軸を漸近線とする。
• 変曲点は ${\displaystyle \left(-{\frac {2a}{\sqrt {3}}},{\frac {3a}{2}}\right),\left({\frac {2a}{\sqrt {3}}},{\frac {3a}{2}}\right)}$