漸近指数曲線
例題：
「表 1 に示すようなデータに曲線をあてはめなさい。」
| X | 0.0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.0 | 2.5 | 3.0 | 3.5 | 4.0 | 4.5 | 5.0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Y | 52 | 53 | 56 | 60 | 68 | 81 | 104 | 144 | 212 | 331 | 536 |
考え方：
- 元のデータをプロットすると図 1 のようになる。
図 1．元データのプロット
- 母回帰関数を，f ( α,β,γ ) = α βX + γ とする。
この関数は母数 β について非線形であるため，線形近似を行い，繰返し計算でパラメータを推定する。
- u1 を β の第 1 近似とすると，テーラー展開によって，
となる。
- V = u1X，W = X u1X - 1 とおいて，Y = a V + b W + c なる重回帰式を求める。
- 求めるパラメータの第 2 近似は，γ = c，α = a，また，b = a（ u2 - u1 ）より，
β の第 2 近似は u2 = u1 + b / a となる。
- この繰返し計算を b / a が十分小さくなるまで繰返す。
例題では初期値として u1 = 2.59748427672956 から出発することにより以下のような繰り返しで解が求まる。u1 = 2.59748427672956 X Y V W 0.0 52.0 1.000 0.000 0.5 53.0 1.612 0.310 1.0 56.0 2.597 1.000 1.5 60.0 4.186 2.418 2.0 68.0 6.747 5.195 2.5 81.0 10.874 10.466 3.0 104.0 17.525 20.241 3.5 144.0 28.245 38.058 4.0 212.0 45.521 70.100 4.5 331.0 73.365 127.101 5.0 536.0 118.240 227.605 Y = 1.3572378951535393 V + 1.4243549394066728 W + 50.96792725159578 u2 = 2.59748427672956 + 1.4243549394066728 / 1.3572378951535393 = 3.646935477946971 X Y V W 0.0 52.0 1.000 0.000 0.5 53.0 1.910 0.262 1.0 56.0 3.647 1.000 1.5 60.0 6.965 2.865 2.0 68.0 13.300 7.294 2.5 81.0 25.399 17.411 3.0 104.0 48.505 39.900 3.5 144.0 92.629 88.897 4.0 212.0 176.894 194.019 4.5 331.0 337.813 416.832 5.0 536.0 645.120 884.468 Y = 1.5580545437279183 V - 0.5886346410044238 W + 51.059342456915786 u3 = 3.646935477946971 - 0.5886346410044238 / 1.5580545437279183 = 3.269134428956727 X Y V W 0.0 52.0 1.000 0.000 0.5 53.0 1.808 0.277 1.0 56.0 3.269 1.000 1.5 60.0 5.911 2.712 2.0 68.0 10.687 6.538 2.5 81.0 19.323 14.777 3.0 104.0 34.938 32.062 3.5 144.0 63.171 67.632 4.0 212.0 114.217 139.752 4.5 331.0 206.513 284.268 5.0 536.0 373.391 571.085 Y = 1.899365987004002 V - 0.3910797118708441 W + 50.049483470128614 u4 = 3.269134428956727 - 0.3910797118708441 / 1.899365987004002 = 3.063234294624154 X Y V W 0.0 52.0 1.000 0.000 0.5 53.0 1.750 0.286 1.0 56.0 3.063 1.000 1.5 60.0 5.361 2.625 2.0 68.0 9.383 6.126 2.5 81.0 16.423 13.403 3.0 104.0 28.744 28.150 3.5 144.0 50.307 57.480 4.0 212.0 88.048 114.974 4.5 331.0 154.103 226.383 5.0 536.0 269.713 440.241 Y = 2.0172279573118015 V - 0.13132147277444592 W + 49.759579890674324 u5 = 3.063234294624154 - 0.13132147277444592 / 2.0172279573118015 = 2.9981343279602735 X Y V W 0.0 52.0 1.000 0.000 0.5 53.0 1.732 0.289 1.0 56.0 2.998 1.000 1.5 60.0 5.191 2.597 2.0 68.0 8.989 5.996 2.5 81.0 15.564 12.978 3.0 104.0 26.950 26.966 3.5 144.0 46.664 54.475 4.0 212.0 80.799 107.799 4.5 331.0 139.904 209.986 5.0 536.0 242.245 403.993 Y = 2.0281494984405004 V + -0.012421069396475732 W + 49.7352498940903 u6 = 2.9981343279602735 + -0.012421069396475732 / 2.0281494984405004 = 2.99200999175822 X Y V W 0.0 52.0 1.000 0.000 0.5 53.0 1.730 0.289 1.0 56.0 2.992 1.000 1.5 60.0 5.175 2.595 2.0 68.0 8.952 5.984 2.5 81.0 15.485 12.939 3.0 104.0 26.785 26.856 3.5 144.0 46.331 54.197 4.0 212.0 80.141 107.139 4.5 331.0 138.622 208.489 5.0 536.0 239.781 400.703 Y = 2.028234388008558 V + -0.00010116737107210208 W + 49.73508927657924 u7 = 2.99200999175822 + -0.00010116737107210208 / 2.028234388008558 = 2.9919601122316375 X Y V W 0.0 52.0 1.000 0.000 0.5 53.0 1.730 0.289 1.0 56.0 2.992 1.000 1.5 60.0 5.175 2.595 2.0 68.0 8.952 5.984 2.5 81.0 15.484 12.938 3.0 104.0 26.784 26.855 3.5 144.0 46.328 54.195 4.0 212.0 80.135 107.134 4.5 331.0 138.612 208.477 5.0 536.0 239.761 400.676 Y = 2.0282343471966158 V + 0.000000021292892722326665 W + 49.735089572519655 u8 = 2.9919601122316375 + 0.000000021292892722326665 / 2.0282343471966158 = 2.9919601227298784
- u1 を β の第 1 近似とすると，テーラー展開によって，
あてはめの結果，a は V の係数 2.0282343471966158，b は u8 = 2.9919601227298784，c は定数項 49.735089572519655 となる。
予測値 = 2.0282343471966158 * 2.9919601227298784 ^ x + 49.735089572519655 X Y 予測値 0.00000 52.00000 51.76332 0.50000 53.00000 53.24338 1.00000 56.00000 55.80349 1.50000 60.00000 60.23177 2.00000 68.00000 67.89149 2.50000 81.00000 81.14073 3.00000 104.00000 104.05831 3.50000 144.00000 143.69951 4.00000 212.00000 212.26801 4.50000 331.00000 330.87289 5.00000 536.00000 536.02710
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