推定とは？ わかりやすく解説

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「故障率」の記事における「推定」の解説

現場の故障率レポートから、統計的な分析手法を用いて故障率を推定（estimation）することができる。正確な故障率を得るためには、分析者は機器の動作、データ収集の手順、故障率に影響を与える主要な環境変数、システムレベルでの機器の使用方法、およびシステム設計者による故障データの使用方法を十分に理解している必要がある。

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「ブトヴィーダス」の記事における「推定」の解説

『ブィホヴィエツ年代記 』に代表されるような後世の歴史書がブトヴィーダスについて«з именя держачого в Жомойти речоного Эйрагола»と記述していることから、ジェマイティアが出生の地だと裏付けられる。テオドラス・ナルブタスは、アリオガラの創設者で、1264年のトレニオタ殺害後にポラツク公国を受け取った海賊リウトベラスの伝説について挙げた。これに関してはナルブタスは、他で確認されていないポーランド語の文献『Rękopis Rovdana』（Rovdan写本）を利用したといわれる。 ポーランドの歴史家であるユーゼフ・プズィナは、ブトヴィーダスは『イパチエフ年代記』における1289年の兄弟と思われるブティゲイディスの記述に出ている可能性があると推測している。 イェージ・オクマニスキイは『ザドンシナ』の記述でゲディミナス家の者が自らを“スカルマンタスの曾孫”と名乗っていることからブトヴィーダスの父はスカルマンタスであることに気付いた。

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「スペクトル密度」の記事における「推定」の解説

スペクトル密度推定の目的は、連続した時間サンプルからランダム信号のスペクトル密度を推定（estimate）することである。信号から何が知られているかに依存するが、推定方法は パラメトリック推定（英語版） と非パラメトリック推定の2つの方法があり、時間領域または周波数領域の分析が基本となる。たとえば、パラメトリック推定（英語版） で共通の技術は自己回帰モデルに観測を適応させることを含んでいる。非パラメトリック推定で共通の技術はピリオドグラム（英語版）である。 スペクトル密度は通常フーリエ変換法を使用して推定されるが、ウェルチ法（英語版）や最大エントロピー法といった他の技術も使用することができる。

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「音の大きさ」の記事における「推定」の解説

ラウドネスは心理量であるため、本来的には個々人が感じた「音量」を調査することでしか記録できない。そのため音量測定・操作は容易ではない。一方、ラウドネスは物理量である音圧と強い関係性がある。ゆえに心理量であるラウドネスを物理量から推定・近似できる尺度が提案されている（A特性音圧レベル、Moore-Glasberg法など）。

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「人の健康に係る公害犯罪の処罰に関する法律」の記事における「推定（第5条）」の解説

工場または事業場における事業活動に伴い、当該排出のみによつても公衆の生命または身体に危険が生じうる程度に人の健康を害する物質を排出した者がある場合において、その排出によりそのような危険が生じうる地域内に同種の物質による公衆の生命または身体の危険が生じているときは、その危険は、その者の排出した物質によつて生じたものと推定する。

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「地球統計学」の記事における「推定」の解説

クリギング クリギング（英: kriging）はバリオグラム・モデル（英語版）を利用して任意地点における確率変数を予測する手法である。 詳細は「en:Kriging」を参照 指示クリギング 指示クリギング（英: indicator kriging）は任意地点における確率変数がある閾値未満の、または閾値を超える値をとる場合の非線形なクリギング手法である。 詳細は「en:Multiple-indicator kriging」を参照

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「混合モデル」の記事における「推定」の解説

y {\displaystyle {\boldsymbol {y}}} と u {\displaystyle {\boldsymbol {u}}} の結合密度関数は次の様に書ける: f ( y , u ) = f ( y | u ) f ( u ) {\displaystyle f({\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {u}})=f({\boldsymbol {y}}|{\boldsymbol {u}})\,f({\boldsymbol {u}})} u ∼ N ( 0 , G ) {\displaystyle {\boldsymbol {u}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {0}},G)} と ϵ ∼ N ( 0 , R ) {\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {0}},R)} および C o v ( u , ϵ ) = 0 {\displaystyle Cov({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {\epsilon }})={\boldsymbol {0}}} には正規分布を仮定し、 β {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}} と u {\displaystyle {\boldsymbol {u}}} の同時密度関数（結合密度関数とも）を最大化すると、ヘンダーソンの“mixed model equations (MME)”が得られる。 ( X ′ R − 1 X X ′ R − 1 Z Z ′ R − 1 X Z ′ R − 1 Z + G − 1 ) ( β ^ u ^ ) = ( X ′ R − 1 y Z ′ R − 1 y ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}X'R^{-1}X&X'R^{-1}Z\\Z'R^{-1}X&Z'R^{-1}Z+G^{-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\hat {\boldsymbol {\beta }}}\\{\hat {\boldsymbol {u}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}X'R^{-1}{\boldsymbol {y}}\\Z'R^{-1}{\boldsymbol {y}}\end{pmatrix}}} このMMEを解く時、 β ^ {\displaystyle \textstyle {\hat {\boldsymbol {\beta }}}} と u ^ {\displaystyle \textstyle {\hat {\boldsymbol {u}}}} はそれぞれ、 β {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}} と u {\displaystyle {\boldsymbol {u}}} の最良線形不偏推定量（BLUE）と最良線形不偏予測量（BLUP）である。これは、目的変数の条件付き分散が単位行列のスカラー倍にならない場合のガウス＝マルコフの定理の解である。条件付き分散が既知である時、逆分散の加重最小二乗推定値はBLUEであるが、条件付き分散が既知であることは稀である。従ってMMEを解く時は、分散と加重推定値を同時推定する必要がある。 この様な混合モデルに適用する方法の一つとして、EMアルゴリズムがある。EMアルゴリズムにおいては分散成分が結合尤度における未観測の局外パラメータ（英語版）として扱われる。現在は、R言語（「nlme」ライブラリの「lme」関数）やSASシステム（英語版）（「proc mixed」プロシジャ）に実装されている。混合モデル式の解法として、誤差が正規分布する場合は最尤推定法を用いる。

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「操作変数法」の記事における「推定」の解説

今またここで操作変数法の詳細を考えよう。以下のような形でデータが生成されるとする。 y i = X i ′ β + e i , {\displaystyle y_{i}=X_{i}'\beta +e_{i},} ここで i {\displaystyle i} は観測値の添え字、 y i {\displaystyle y_{i}} は被説明変数、 X i {\displaystyle X_{i}} は説明変数と定数のベクトル、 e i {\displaystyle e_{i}} は X i {\displaystyle X_{i}} とは異なる y i {\displaystyle y_{i}} に影響を与えるすべての要因を表す観測できない誤差項、 β {\displaystyle \beta } は観測できないスカラー値のパラメータ、 上付きの添え字 ′ {\displaystyle '} は行列ないしはベクトルの転置、 とする。 パラメータ β {\displaystyle \beta } は X i {\displaystyle X_{i}} の各要素が一単位動き、他の y i {\displaystyle y_{i}} に変動を与えるすべての要因が一定である時に y i {\displaystyle y_{i}} が受ける因果効果を表している。計量経済学的な目的は β {\displaystyle \beta } を推定することである。単純化のために、 e {\displaystyle e} は互いに無相関で、同じ分散である分布から生成されるものとする。つまり誤差項は自己相関がなく分散均一である。 また同じ形の回帰モデルも導出できるとする。観測値のランダムなサンプルのサイズを T {\displaystyle T} とすると、最小二乗法による推定量は以下のようになる。 β ^ O L S = ( X ′ X ) − 1 X ′ y = ( X ′ X ) − 1 X ′ ( X β + e ) = β + ( X ′ X ) − 1 X ′ e {\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {OLS} }=(X'X)^{-1}X'y=(X'X)^{-1}X'(X\beta +e)=\beta +(X'X)^{-1}X'e} ここで X {\displaystyle X} はそれぞれの X i ′ {\displaystyle X_{i}'} を並べた T {\displaystyle T} 行の行列、 y {\displaystyle y} と e {\displaystyle e} は長さ T {\displaystyle T} の列ベクトルを表している。この方程式は導入節における c o v ( X , y ) {\displaystyle cov(X,y)} についての方程式と類似している（ここでの方程式は行列バージョンである）。 X {\displaystyle X} と e {\displaystyle e} が無相関であるとき、ある正則条件の下で第2項を X {\displaystyle X} で条件付けた期待値は0となり、さらに極限において0に収束する。よってこの推定量は不偏かつ一致推定量である。 X {\displaystyle X} と e {\displaystyle e} に含まれる測定されない因果変数が相関すると、しかしながら、最小二乗法による推定量は一般的に β {\displaystyle \beta } についてバイアスを持ち、一致性もない。この場合、 X {\displaystyle X} の値が与えられた場合の y {\displaystyle y} の値を予測するための推定量としては妥当であるが、 X {\displaystyle X} の y {\displaystyle y} に対する因果効果はこの推定量では分からない。 パラメータ β {\displaystyle \beta } を正しく推定するために、それぞれの内生的な X {\displaystyle X} と強く相関するが、 y {\displaystyle y} とは相関しない（言い換えれば、 e {\displaystyle e} とは相関しない）変数 Z {\displaystyle Z} を導入する。簡単化のために、 X {\displaystyle X} は 定数と内生変数の列からなる T {\displaystyle T} 行2列の行列であるとし、 Z {\displaystyle Z} は 定数と操作変数の列からなる T {\displaystyle T} 行2列の行列であるとする。しかしながら、この方法は X {\displaystyle X} が定数と、例えば、5つの内生変数からなる行列であり、 Z {\displaystyle Z} が定数と5つの操作変数からなる場合といった時にも拡張できる。以下の議論においては X {\displaystyle X} は T {\displaystyle T} 行 K {\displaystyle K} 列の行列であり、 K {\displaystyle K} は未定のままであると仮定する。 X {\displaystyle X} と Z {\displaystyle Z} が共に T {\displaystyle T} 行 K {\displaystyle K} 列の行列である時の推定量は適切に識別されている（英語版）と言われる。 それぞれの内生的要素 x i {\displaystyle x_{i}} と操作変数の間の関係が以下のように与えられると仮定する。 x i = Z i γ + v i , {\displaystyle x_{i}=Z_{i}\gamma +v_{i},} 最も一般的な操作変数による特定化は以下の推定量を用いる。 β ^ I V = ( Z ′ X ) − 1 Z ′ y {\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {IV} }=(Z'X)^{-1}Z'y} この特定化は、真のモデルにおいて Z ′ e = 0 {\displaystyle Z'e=0} が満たされる限り、サンプルサイズが大きくなれば真のパラメータへと近づいていく。 β ^ I V = ( Z ′ X ) − 1 Z ′ y = ( Z ′ X ) − 1 Z ′ X β + ( Z ′ X ) − 1 Z ′ e → β {\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {IV} }=(Z'X)^{-1}Z'y=(Z'X)^{-1}Z'X\beta +(Z'X)^{-1}Z'e\rightarrow \beta } データを生成する過程において Z ′ e = 0 {\displaystyle Z'e=0} が満たされる限り、操作変数推定量の適切な使用により、パラメータ β {\displaystyle \beta } が識別される。操作変数法は Z ′ e = 0 {\displaystyle Z'e=0} を満たす一意なパラメータについて解くので、これは機能し、そしてゆえにサンプルサイズが大きくなるにつれ真のパラメータに近づいていく。 今、拡張を行う。興味のある方程式における共変数の数より操作変数の数の方が大きいとする。つまり Z {\displaystyle Z} は T {\displaystyle T} 行 M {\displaystyle M} 列行列で M > K {\displaystyle M>K} であるとする。これはしばしば過剰識別のケースと呼ばれる。この場合、一般化モーメント法(GMM)を用いることができる。GMM推定量は以下のようになる。 β ^ G M M = ( X ′ P Z X ) − 1 X ′ P Z y , {\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {GMM} }=(X'P_{Z}X)^{-1}X'P_{Z}y,} ここで P Z {\displaystyle P_{Z}} は射影行列であり、 P Z = Z ( Z ′ Z ) − 1 Z ′ {\displaystyle P_{Z}=Z(Z'Z)^{-1}Z'} を満たす。 この表現は、操作変数の数と興味のある方程式における共変数の数が一致する時に、最初の表現にまとめることができる。過剰識別の操作変数法はそれゆえに、適切に識別された場合の操作変数法の一般化の一つである。 適切に識別されているときに、βGMM が βIV にまとめられることの証明 β ^ G M M {\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {GMM} }} を以下のように展開する。 β ^ G M M = ( X ′ Z ( Z ′ Z ) − 1 Z ′ X ) − 1 X ′ Z ( Z ′ Z ) − 1 Z ′ y {\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {GMM} }=(X'Z(Z'Z)^{-1}Z'X)^{-1}X'Z(Z'Z)^{-1}Z'y} 適切に識別されている時、操作変数の数と共変数の数は同じである。つまり X {\displaystyle X} の次元と Z {\displaystyle Z} の次元は同じである。ゆえに、 X ′ Z , Z ′ Z {\displaystyle X'Z,Z'Z} と Z ′ X {\displaystyle Z'X} は同じ次元の正方行列である。任意の n {\displaystyle n} 行 n {\displaystyle n} 列の行列 A {\displaystyle A} と B {\displaystyle B} について ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 {\displaystyle (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}} であるという事実（逆行列を参照のこと。）を用いて、（ β ^ G M M {\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {GMM} }} の中の）逆行列を展開すると、 β ^ G M M = ( Z ′ X ) − 1 ( Z ′ Z ) ( X ′ Z ) − 1 X ′ Z ( Z ′ Z ) − 1 Z ′ y = ( Z ′ X ) − 1 ( Z ′ Z ) ( Z ′ Z ) − 1 Z ′ y = ( Z ′ X ) − 1 Z ′ y = β ^ I V {\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\beta }}_{\mathrm {GMM} }&=(Z'X)^{-1}(Z'Z)(X'Z)^{-1}X'Z(Z'Z)^{-1}Z'y\\&=(Z'X)^{-1}(Z'Z)(Z'Z)^{-1}Z'y\\&=(Z'X)^{-1}Z'y\\&={\widehat {\beta }}_{\mathrm {IV} }\end{aligned}}} となり、 β ^ G M M {\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {GMM} }} と β ^ I V {\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {IV} }} が（適切に識別されている時に）一致することが分かる。参照文献として Davidson and Mackinnnon (1993):218 を挙げておく。 ここで、 m < k {\displaystyle m<k} の場合について同値な過小識別（英語版）推定量が存在する。パラメータは線形方程式のシステムの解であるので、方程式 Z ′ v = 0 {\displaystyle Z'v=0} を用いた過小識別モデルは一意解を持たない。

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「平均処置効果」の記事における「推定」の解説

データやその背後の状況にもよるが、多くの方法が平均処置効果を推定する為に使うことができる。最も一般的な方法は以下のようなものである。 自然実験（英語版）と擬似実験（英語版） 差分の差分法（英: difference in differences, diff-in-diffs） 回帰不連続デザイン（英: regression discontinuity design） マッチング法（英語版） 局所操作変数の理論に基づいた方法（厳密な意味での回帰不連続デザインも含まれる） 母集団において政策変更が一度行われれば、回帰により処置をコントロールできる。結果の方程式は以下のようになる。 y = B 0 + δ 0 d 2 + B 1 d T + δ 1 d 2 ⋅ d T , {\displaystyle y=\mathrm {B} _{0}+\delta _{0}d2+\mathrm {B} _{1}dT+\delta _{1}d2\cdot dT,} ここで y {\displaystyle y} は被説明変数で、 δ 1 {\displaystyle \delta _{1}} は母集団における政策変更の効果を測定している。 差分の差分法による方程式は以下のようになる。 δ ^ 1 = ( y ¯ 2 , T − y ¯ 1 , T ) − ( y ¯ 2 , C − y ¯ 1 , C ) , {\displaystyle {\hat {\delta }}_{1}=({\bar {y}}_{2,T}-{\bar {y}}_{1,T})-({\bar {y}}_{2,C}-{\bar {y}}_{1,C}),} ここで T {\displaystyle T} は処置群、 C {\displaystyle C} は対照群である。この場合、 δ ^ 1 {\displaystyle {\hat {\delta }}_{1}} は平均的な成果における処置の効果を測定しているので、まさに平均処置効果である。 差分の差分法の例より処置効果の推定についての主要な問題が分かる。同じ個人の処置された場合と処置されなかった場合を同時には観測できないので、平均処置効果を推定する為に、仮想的な場合の尺度を見つける必要がある。

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「分散共分散行列」の記事における「推定」の解説

多次元正規分布の分散共分散行列の最尤推定量の導出は、驚くほど巧妙である。en:estimation of covariance matricesを参照。

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「歪度」の記事における「推定」の解説

一般に、平均まわりの k 次モーメント E ( ( X − μ ) k ) {\displaystyle E((X-\mu )^{k})} は、k 次の標本モーメントによって推定することができる。したがって、歪度と尖度は、原系列を標準化すれば 3 次の標本モーメント b 1 1 / 2 {\displaystyle b_{1}^{1/2}} および 4 次の標本モーメント b 2 {\displaystyle b_{2}} で推定できる。母分布が正規分布であるか否かを調べるためには、歪度と尖度が標準化された正規確率変数の値 0 と 3 に似るか否かを調べればよい（ジャック–ベラ検定）。ボウマン=シェントンは、正規性検定の指標 J B = n b 1 2 6 + n ( b 2 − 3 ) 2 24 {\displaystyle JB=n{\frac {b_{1}^{2}}{6}}+n{\frac {(b_{2}-3)^{2}}{24}}} が、帰無仮説が正規分布である下で自由度が 2 のカイ二乗分布に漸近的に従うことを示した。

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「誤差修正モデル」の記事における「推定」の解説

上述の通り、改良された動的モデルを推定するいくつかの方法が知られている。その中には、エングル-グレンジャーの2段階アプローチや、ベクトルを基にヨハンセンの方法を用いて1ステップでECMを推定するVECMがある。

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