歪度と尖度
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/08 17:05 UTC 版)
「ダゴスティーノのK二乗検定」の記事における「歪度と尖度」の解説
以下では、nを標本数、xiをi番目の標本、g1を標本歪度、g2を標本尖度、mjをj次標本中心モーメント、そして x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} を標本平均とする。（正規性の検定に関する文献では極めて頻繁に、歪度を√β1、尖度をβ2と表記することに注意されたい。例えば√β1は負の値をとりうるため、こうした表記は勝手が悪い。） 標本歪度と標本尖度は以下の式で定義される。 g 1 = m 3 m 2 3 / 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 3 ( 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 2 ) 3 / 2 , g 2 = m 4 m 2 2 − 3 = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 4 ( 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 2 ) 2 − 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}&g_{1}={\frac {m_{3}}{m_{2}^{3/2}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{3}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}\ ,\\&g_{2}={\frac {m_{4}}{m_{2}^{2}}}-3={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{4}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}\right)^{2}}}-3\ .\end{aligned}}} これらの統計量はともに分布の理論的な歪度と尖度の推定量となりうる。（Wikipedia英語版Consistent estimatorも参照。）そのうえ、標本が確かに正規分布由来であるならば、歪度と尖度の正確な有限標本分布自体の平均μ1、分散μ2、歪度γ1、尖度γ2を分析することができる。Pearson (1931)がこの分析を実施し、以下の数式を導いた。 標本歪度g1の分布の平均μ1(g1)、分散μ2(g1)、歪度γ1(g1)及び尖度γ2(g1): μ 1 ( g 1 ) = 0 , μ 2 ( g 1 ) = 6 ( n − 2 ) ( n + 1 ) ( n + 3 ) , γ 1 ( g 1 ) ≡ μ 3 ( g 1 ) μ 2 ( g 1 ) 3 / 2 = 0 , γ 2 ( g 1 ) ≡ μ 4 ( g 1 ) μ 2 ( g 1 ) 2 − 3 = 36 ( n − 7 ) ( n 2 + 2 n − 5 ) ( n − 2 ) ( n + 5 ) ( n + 7 ) ( n + 9 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&\mu _{1}(g_{1})=0,\\&\mu _{2}(g_{1})={\frac {6(n-2)}{(n+1)(n+3)}},\\&\gamma _{1}(g_{1})\equiv {\frac {\mu _{3}(g_{1})}{\mu _{2}(g_{1})^{3/2}}}=0,\\&\gamma _{2}(g_{1})\equiv {\frac {\mu _{4}(g_{1})}{\mu _{2}(g_{1})^{2}}}-3={\frac {36(n-7)(n^{2}+2n-5)}{(n-2)(n+5)(n+7)(n+9)}}.\end{aligned}}} 標本尖度g2の分布の平均μ1(g2)、分散μ2(g2)、歪度γ1(g2)及び尖度γ2(g2): μ 1 ( g 2 ) = − 6 n + 1 , μ 2 ( g 2 ) = 24 n ( n − 2 ) ( n − 3 ) ( n + 1 ) 2 ( n + 3 ) ( n + 5 ) , γ 1 ( g 2 ) ≡ μ 3 ( g 2 ) μ 2 ( g 2 ) 3 / 2 = 6 ( n 2 − 5 n + 2 ) ( n + 7 ) ( n + 9 ) 6 ( n + 3 ) ( n + 5 ) n ( n − 2 ) ( n − 3 ) , γ 2 ( g 2 ) ≡ μ 4 ( g 2 ) μ 2 ( g 2 ) 2 − 3 = 36 ( 15 n 6 − 36 n 5 − 628 n 4 + 982 n 3 + 5777 n 2 − 6402 n + 900 ) n ( n − 3 ) ( n − 2 ) ( n + 7 ) ( n + 9 ) ( n + 11 ) ( n + 13 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&\mu _{1}(g_{2})=-{\frac {6}{n+1}},\\&\mu _{2}(g_{2})={\frac {24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^{2}(n+3)(n+5)}},\\&\gamma _{1}(g_{2})\equiv {\frac {\mu _{3}(g_{2})}{\mu _{2}(g_{2})^{3/2}}}={\frac {6(n^{2}-5n+2)}{(n+7)(n+9)}}{\sqrt {\frac {6(n+3)(n+5)}{n(n-2)(n-3)}}},\\&\gamma _{2}(g_{2})\equiv {\frac {\mu _{4}(g_{2})}{\mu _{2}(g_{2})^{2}}}-3={\frac {36(15n^{6}-36n^{5}-628n^{4}+982n^{3}+5777n^{2}-6402n+900)}{n(n-3)(n-2)(n+7)(n+9)(n+11)(n+13)}}.\end{aligned}}}
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