推計統計学
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推計統計学（すいけいとうけいがく、英: inferential statistics, inductive statistics）あるいは統計的推論（英: statistical inference）とは、母集団全体を知ることができない場合に、母集団から抽出された部分集団（抽出集団、標本集団）をもとに、確率論を用いて母集団の様子を推定する統計学の分野を言う。推計という語は、推定、推論、推測などと訳されることもある。
概要
19世紀後半から20世紀初頭にかけて発達した統計学は、現在では推計統計学と区別して、「記述統計学（descriptive statistics）」と呼ばれている。集団の規則性を求めることが統計学の目的であるが、記述統計学においては集団の規則性は大量の標本を観察することによってのみ発見することができるものだと考えられていた。そのため記述統計学は、現実的な制約により少数の標本しか得られない現象について、その帰属する母集団の規則性を求めることができなかった。そのような事例に対応するために発達したのが推計統計学である。
推計統計学は実世界の様々な分野で使われているが、分かりやすい例としては抜き取り調査による品質管理や疫学調査などが挙げられる。
推計統計学は、頻度主義に基づいたものとベイズ主義に基づいたものに分けられる。
頻度主義における統計学的推論は、母集団を規定する量＝パラメータ（母数）を既定の固定値としてそれを推定するという方法（パラメトリック推定）に基いて発展してきた。基礎的なパラメトリック推定における統計学的推測は、以下のように細分される。
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区間推定
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/15 09:49 UTC 版)
実際に算出される工程能力指数の値は計測データに基づいた点推定値であり、得られた指数を前掲の表のような基準値と比較するだけでは不十分である。正しく評価するには区間推定を行う必要がある。 C ^ p {\displaystyle {\hat {C}}_{p}} については以下の方法で、両側信頼区間や推定に必要なデータ数を求めることができる。工程能力指数の他の定義についても、同様の研究がある。 信頼水準1-αでの両側信頼区間は次式で与えられる。ここでφ=n-1でnは計測データ数。 ( C ^ p { χ 2 ( 1 − α / 2 ; ϕ ) / ϕ } 1 2 , C ^ p { χ 2 ( α / 2 ; ϕ ) / ϕ } 1 2 ) {\displaystyle {\Big (}{\hat {C}}_{p}\left\{\chi ^{2}(1-\alpha /2;\phi )/\phi \right\}^{\frac {1}{2}},{\hat {C}}_{p}\left\{\chi ^{2}(\alpha /2;\phi )/\phi \right\}^{\frac {1}{2}}{\Big )}} これは、φs2/σ2 が自由度φのχ2分布に従うことで次式が成立することによる（sは標本標準偏差）。 P r { χ 2 ( 1 − α / 2 ; ϕ ) ≦ ϕ s 2 / σ 2 ≦ χ 2 ( α / 2 ; ϕ ) } = 1 − α {\displaystyle Pr\left\{\chi ^{2}(1-\alpha /2;\phi )\leqq \phi s^{2}/\sigma ^{2}\leqq \chi ^{2}(\alpha /2;\phi )\right\}=1-\alpha } ある区間幅で推定するのに必要なデータ数については、区間幅2δに対して次の近似式が知られている。ここで、u(α)は標準正規分布N(0,12)の両側100α点である。 C ^ p 2 u ( α ) 2 2 δ 2 + 1 ≦ n {\displaystyle {\frac {{{\hat {C}}_{p}}^{2}u(\alpha )^{2}}{2\delta ^{2}}}+1\leqq n} 目安として信頼水準0.95における必要データ数を表3に示す。 表3 信頼水準0.95において区間幅2δで推定するために必要なデータ数 C ^ p {\displaystyle {\hat {C}}_{p}} δ0.200.150.100.050.7 24.5 42.8 95.1 377.5 1.0 49.0 86.4 193.1 769.3 1.3 82.2 145.3 325.6 1299.5 1.5 109.0 193.1 433.2 1729.7 2.0 193.1 342.5 769.3 3074.3
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