体積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2023/12/30 02:39 UTC 版)
体積(たいせき、英: volume)とは3次元空間において、その空間の領域の大きさを示す量(物理量)である[1][2]。和語では嵩(かさ)という。
注釈
出典
- ^ “体積|算数用語集”. www.shinko-keirin.co.jp. 2023年10月20日閲覧。
- ^ ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典: 体積.
- ^ 世界大百科事典 第2版: 体積
- ^ 上記本文と文字は異なるが、同じ意味である。つまるところ、何を文字に使っても直方体の体積の公式は変わらない。
- ^ 式中の演算子はそれぞれ、"·" はドット積、"×" はクロス積を表す。"|x|"はxの絶対値を表す。
- ^ この公式は、#定義からも分かるように、三重積分のうち二重積分のみを先に計算してしまった形の特別な場合(二重積分の結果がA(h))である。
- ^ ここで単位の先頭にSI接頭語(いわゆる補助単位)が付いているが、いずれもm3(立方メートル)にSI接頭語を付けたものではない。順序としては、SI接頭語を付けた単位(mmやkm)をまず準備し、それらをそれぞれ3乗している。
- ^ なお、SI基本単位としての長さの単位はメートル (m)である。
- ^ ccは元来"cubic centimetre"の略称であり、これは"cm3"の英語での読みそのものである。その略号のccが単位として定着している。
- ^ a b c 穂坂光司「ガラス体積計の基礎知識」 クライミング、2020年4月15日閲覧
- ^ 容積の計算では、収納・収蔵できる空間領域の大きさで計算を行う。
- ^ “計量法”. e-Gov法令検索. 総務省行政管理局. 2014年7月4日閲覧。
- ^ “計量単位令”. e-Gov法令検索. 総務省行政管理局. 2014年7月4日閲覧。
- ^ “食品表示基準”. e-Gov法令検索. 総務省行政管理局. 2016年4月17日閲覧。
体積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/06/12 14:04 UTC 版)
1824年、イギリス帝国で使用中の様々な異なるガロンは廃止され、英ガロンに切り替えられた。英ガロンはエール・ガロンを元に定められたもので、当初は「気圧30水銀柱インチ (inHg)、温度62華氏度 (°F) の大気中において黄銅製分銅で測った10ポンドの蒸留水の体積」と定義された。1963年には、より厳密に「密度0.001 217 g/mLの空気中で密度8.136 g/mLの分銅で測った蒸留水10ポンドが占める体積」と再定義された。この定義による1ガロンは約4.546 0903リットル(約277.419 4511立方インチ)となる。 体積の単位単位英オンス英パイントミリリットル立方インチ米オンス米パイント液量オンスfluid ounce (fl oz) 1 1⁄20 28.4130625 1.7339 0.96076 0.060047 ジルgill (gi) 5 1⁄4 142.0653125 8.6694 4.8038 0.30024 パイントpint (pt) 20 1 568.26125 34.677 19.215 1.2009 クォートquart (qt) 40 2 1136.5225 69.355 38.430 2.4019 ガロンgallon (gal) 160 8 4546.09 277.42 153.72 9.6076 注意:ミリリットルへの換算は概算値ではなく正確な値である。立方インチ・米オンス・米パイントへの換算は有効数字5桁で丸めてある。
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体積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/03/29 06:50 UTC 版)
メンガーのスポンジの次元は3より小さいため、3次元的な大きさである体積は 0 である。実際、体積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度穴を空ける毎にその体積は 7 27 {\displaystyle {\tfrac {7}{27}}} ずつ減少するため、穴を空ける回数を n {\displaystyle n} とすると最終的に体積は lim n → ∞ ( 20 27 ) n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\tfrac {20}{27}}\right)^{n}=0} となり 0 {\displaystyle 0} に収束する。
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体積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/02/10 05:35 UTC 版)
単体は空間上にある基準点 O を取ったとき、O からの位置ベクトルが互いに一次独立である n + 1個の点 P1, …, Pn+1 を頂点にもつ多面体である。このとき、 OP i → = ( x 1 , i , ⋯ , x n , i ) {\displaystyle {\overrightarrow {{\text{OP}}_{i}}}=(x_{1,i},\cdots ,x_{n,i})} とすれば、超体積(n = 3 であれば体積、n = 2 であれば面積、n = 1 であれば長さ)V は、 V = 1 n ! abs | x 1 , 1 x 1 , 2 ⋯ x 1 , n + 1 ⋯ ⋯ x n , 1 x n , 2 ⋯ x n , n + 1 1 1 1 1 | {\displaystyle V={\frac {1}{n!}}\operatorname {abs} {\begin{vmatrix}x_{1,1}&x_{1,2}&\cdots &x_{1,n+1}\\&\cdots &\cdots &\\x_{n,1}&x_{n,2}&\cdots &x_{n,n+1}\\1&1&1&1\end{vmatrix}}} と表すことができる。特に、Pn+1 = O であるとき、 V = 1 n ! abs | x 1 , 1 ⋯ x 1 , n ⋮ ⋱ ⋮ x n , 1 ⋯ x n , n | {\displaystyle V={\frac {1}{n!}}\operatorname {abs} {\begin{vmatrix}x_{1,1}&\cdots &x_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n,1}&\cdots &x_{n,n}\end{vmatrix}}} である。 頂点の位置ベクトルが a0, a1, …, ar で与えられる r次元単体の容積(volume, r次元体積)は行列式 det を用いて以下のように与えられる。 1 r ! det ( a 0 − a 1 , a 1 − a 2 , ⋯ , a r − 1 − a r ) {\displaystyle {\frac {1}{r!}}\det({\boldsymbol {a}}_{0}-{\boldsymbol {a}}_{1},{\boldsymbol {a}}_{1}-{\boldsymbol {a}}_{2},\cdots ,{\boldsymbol {a}}_{r-1}-{\boldsymbol {a}}_{r})}
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体積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/02/20 06:13 UTC 版)
容量の単位の多くは、ガロンの分量または倍量である。例えば、クォートはガロンの4分の1、パイントはクォートの半分または8分の1である。これらの比は、ガロンの大きさに関係なく適用された。ガロンの定義は時間の経過とともに変わっただけでなく、異なる種類のガロンが同時に存在した。例えば、帝国ガロンが確立する前の数十年間、231立方インチのワインガロン(米ガロンの元となった)と282立方インチのエールガロンが一般に使用されていた。つまり、エールとワインでパイントは同じサイズではなかった。一方、液量オンスなどのいくつかの単位は、ガロンとの比では定義されていなかった。そのため、帝国ガロンの確立前には、オンスを元にパイントやクォートなどの単位の正確な定義を与えることは必ずしも可能ではない。
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体積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/03/27 07:02 UTC 版)
三角錐の体積は V = 1 3 A 0 h {\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{0}\,h\,} である。 A 0 {\displaystyle A_{0}} が底面の面積、 h {\displaystyle h} が高さである。 頂点が a = (a1, a2, a3),b = (b1, b2, b3),c = (c1, c2, c3), d = (d1, d2, d3) の場合、体積は V = | det ( a − d , b − d , c − d ) | 6 {\displaystyle V={\frac {|\det(\mathbf {a} -\mathbf {d} ,\mathbf {b} -\mathbf {d} ,\mathbf {c} -\mathbf {d} )|}{6}}} V = | ( a − d ) ⋅ ( ( b − d ) × ( c − d ) ) | 6 {\displaystyle V={\frac {|(\mathbf {a} -\mathbf {d} )\cdot ((\mathbf {b} -\mathbf {d} )\times (\mathbf {c} -\mathbf {d} ))|}{6}}} である。
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体積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/09/13 18:00 UTC 版)
「中身の詰まったトーラス」の記事における「体積」の解説
ソリッドトーラスの体積は、函数行列式(ヤコビ行列の行列式)上の三重積分として計算できる。先の媒介表示に関するヤコビ行列は以下のように陽に書ける: J f = ∂ ( x , y , z ) ∂ ( a , t , p ) = ( ∂ a x ∂ p x ∂ t x ∂ a y ∂ p y ∂ t y ∂ a z ∂ p z ∂ t z ) = ( cos t cos p − R sin t − a sin t cos p a cos t sin p sin t cos p R cos t + a cos t cos p a sin t sin p sin p 0 − a cos p ) , {\displaystyle J_{f}={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (a,t,p)}}={\begin{pmatrix}\partial _{a}x&\partial _{p}x&\partial _{t}x\\\partial _{a}y&\partial _{p}y&\partial _{t}y\\\partial _{a}z&\partial _{p}z&\partial _{t}z\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos t\cos p&-R\sin t-a\sin t\cos p&a\cos t\sin p\\\sin t\cos p&R\cos t+a\cos t\cos p&a\sin t\sin p\\\sin p&0&-a\cos p\end{pmatrix}},} ゆえにその行列式は det ( J f ) = a ( a cos p + R ) {\displaystyle \det(J_{f})=a(a\cos p+R)} であり、この行列式の値は法ベクトルのノルムに等しい。すなわち、ソリッドトーラスの体積は V = ∫ V d V = ∫ Γ det ( J f ) d Γ = ∫ 0 2 π d t ∫ 0 2 π d p ∫ 0 r d a ( R a + a 2 cos p ) = 2 π 2 r 2 R {\displaystyle V=\int _{V}dV=\int _{\Gamma }\det(J_{f})d\Gamma =\int _{0}^{2\pi }dt\int _{0}^{2\pi }dp\int _{0}^{r}da~(Ra+a^{2}\cos p)=2\pi ^{2}r^{2}R} と計算される。 命題 ソリッドトーラスの体積は V = 2 π 2 r 2 R {\displaystyle V=2\pi ^{2}r^{2}R} で与えられる。 この公式を、円板の面積 A r = π r 2 {\displaystyle A_{r}=\pi r^{2}} と中心軌跡(円周の長さ) U R = 2 π R {\displaystyle U_{R}=2\pi R} を掛けたものと解釈することができる。これは円柱体の体積が V cylinder = π r 2 l {\displaystyle V_{\text{cylinder}}=\pi r^{2}l} であるのと同様である。表面積の計算も同様にできて、ここでは二つの円周 U r = 2 π r {\displaystyle U_{r}=2\pi r} と U R = 2 π R {\displaystyle U_{R}=2\pi R} の積に等しい。これもやはり円柱の側面積が O cylinder = 2 π r l {\displaystyle O_{\text{cylinder}}=2\pi rl} であることに対応する。
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体積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/01/01 16:52 UTC 版)
体積(一般)単位定義SI換算立方インチ (cu in) , (in3)cubic inch 16.387064 mL 立方フィート (cu ft) , (ft3)cubic foot 1728 cu in 28.31685 L 立方ヤード (cu yd) , (yd3)cubic yard 27 cu ft 764.554857984 L0.764554857984 m3 エーカー・フィート (acre ft)acre-foot 43560 cu ft1613.333 cu yd 1.233482 ML1233.482 m3 体積の単位では、立方インチ・立方フィート・立方ヤードがよく用いられる。これらとは別に、液量と乾量のための単位が存在する。 立方インチ・立方フィート・立方ヤード以外の体積の単位は、帝国単位と同じ名前でも大きさが異なっている。また、慣用単位では液量と乾量とで同じ名前でも大きさが異なっているが、帝国単位では1種類のみである。
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体積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2019/05/19 14:00 UTC 版)
詳細は「超球体の体積」を参照 n-次元ユークリッド空間における、半径 R の n-次元ユークリッド超球体の n-次元超体積は V n ( R ) = π n / 2 Γ ( n 2 + 1 ) R n {\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n}} で与えられる。ただし Γ はオイラーのガンマ函数(階乗の非整数引数への拡張と見做される)。整数値または半整数値におけるガンマ函数の特殊値(英語版)の明示公式を用いれば、ガンマ函数の値の評価を抜きにして、ユークリッド超球面の体積は V 2 k ( R ) = π k k ! R 2 k , {\displaystyle V_{2k}(R)={\frac {\pi ^{k}}{k!}}R^{2k},} V 2 k + 1 ( R ) = 2 k + 1 π k ( 2 k + 1 ) ! ! R 2 k + 1 = 2 ( k ! ) ( 4 π ) k ( 2 k + 1 ) ! R 2 k + 1 {\displaystyle V_{2k+1}(R)={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={\frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}} で与えられることがわかる。奇数次元の場合の式に現れる二重階乗 (2k + 1)!! は (2k + 1)!! = 1 · 3 · 5 ··· (2k − 1) · (2k + 1) と定義されるものである。
※この「体積」の解説は、「球体」の解説の一部です。
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体積(量)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/02/08 17:14 UTC 版)
体積・容積の単位(度量衡の「量」)は、升を基本の単位とする。升の大きさは時代や地域によって大きく異なる(詳細は升を参照のこと)が、升と他の単位との関係はほとんど古代から変わっていない。日本で升が現在の大きさになったのは江戸時代のことである。 1石 = 10斗 ≒ 180.390684 L 1斗 = 10升 ≒ 18.039068 L 1升 = 10合 = 2401/1331 L ≒ 1.803906837 L 1合 = 10勺 ≒ 0.180390684 L 勺未満の単位に関しては、抄(才)・撮・圭・粟(いずれも単位ごとに10分の1となる)という単位が『塵劫記』などの書物に載っており、さらにその下には黍・秕といった単位が存在するが、これらは日本の旧計量法施行法では定義されていない。 土砂などについては、6尺立方に相当する立坪(単に坪とも)が用いられる。また、1立方尺を才とも言う。才は、運送業において「才建て運賃」(体積を単位とする料金体系)という用語が残っている。ヤード・ポンド法の立方フィートが才に近いことから、国際航空貨物の体積建て運賃との整合の便宜のため慣習的に利用されている。
※この「体積(量)」の解説は、「尺貫法」の解説の一部です。
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体積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/02/09 10:00 UTC 版)
通常気圧において凍る際は体積が約11分の1増加する。すなわち、比重が0.9168 と小さくなり、水に浮く。物質は温度が低くなるほど分子の振動が小さくなるため、通常であれば温度が低くなるほど密度は大きくなり、従って気相よりも液相のほうが密度が大きく、液相よりも固相のほうが密度が高い。このように固相の方が液相よりも密度が低い物質は非常に珍しい。これは液相の水分子が水素結合で強固に結びついており、固相の場合よりも分子間の距離が小さいことが原因である。また、密閉された状態で凍ると周囲の物質を押し出し、時に破壊する。例えば岩の隙間に水が入り込んで氷になると、岩を破壊する。生物の細胞も凍結すると破壊され、生物の凍傷や凍死の原因となる。冬季の寒冷地では凍結による水道管の破裂を防ぐため、夜間は水抜栓を用いて水を冷気の及ばない地中に落とし、凍結を防ぐ。清涼飲料水類の缶にも「凍らせないでください」という注意書きが書かれている。水に溶けた炭酸は水が凍ると気体として追い出されてしまい、炭酸水を容器に入れて凍らせると爆発する危険がある。
※この「体積」の解説は、「氷」の解説の一部です。
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体積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/03/05 20:38 UTC 版)
白質の体積が小さいほど、注意力、陳述記憶、実行機能、知能、学術成績の大きな障害と関連している可能性がある。しかし、体積は神経可塑性(英語版)により生涯を通じて継続的に変化し、他の脳領域での代償効果があるためある種の機能障害の決定要因ではなく一因である。白質の完全性は加齢により低下するが、定期的な有酸素運動により長期的に加齢効果が先送りされたり逆に白質の完全性が高められたりするようである。炎症や損傷による白質容積の変化は、閉塞性睡眠時無呼吸(英語版)の重症化の要因となる可能性がある。
※この「体積」の解説は、「白質」の解説の一部です。
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体積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/02/23 03:34 UTC 版)
一つの面を水平面に置くと、体積は、(一つの)水平面(それぞれ平行四辺形である)の面積に高さを掛け算したものになる。ここに、高さとは必ずしもある辺の長さではなく、水平面に垂直の軸に沿って計測されるものである。 あるいは、平行六面体の中心を座標原点に置いたときの8個の頂点の座標を ui で表すなら、体積は次式で与えることもできる。この場合は、図形の置かれる角度は問わない。 V = 1 8 | ∑ i = 1 8 u i ⊗ u i | = 1 8 | ∑ i = 1 8 u i u i ⊤ | = 1 8 | ∑ i = 1 8 ( u x u y u z ) i ( u x u y u z ) i | {\textstyle V={\sqrt {{\frac {1}{8}}{\begin{vmatrix}\sum _{i=1}^{8}\mathbf {u_{i}} \otimes \mathbf {u_{i}} \end{vmatrix}}}}={\sqrt {{\frac {1}{8}}{\begin{vmatrix}\sum _{i=1}^{8}\mathbf {u_{i}} \mathbf {u_{i}} ^{\top }\end{vmatrix}}}}={\sqrt {{\frac {1}{8}}{\begin{vmatrix}\sum _{i=1}^{8}{\begin{pmatrix}u_{x}\\u_{y}\\u_{z}\end{pmatrix}}_{i}{\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}&u_{z}\end{pmatrix}}_{i}\end{vmatrix}}}}} = 1 8 | ∑ i = 1 8 ( u x u x u x u y u x u z u y u x u y u y u y u z u z u x u z u y u z u z ) i | {\textstyle ={\sqrt {{\frac {1}{8}}{\begin{vmatrix}\sum _{i=1}^{8}{\begin{pmatrix}u_{x}u_{x}&u_{x}u_{y}&u_{x}u_{z}\\u_{y}u_{x}&u_{y}u_{y}&u_{y}u_{z}\\u_{z}u_{x}&u_{z}u_{y}&u_{z}u_{z}\end{pmatrix}}_{i}\end{vmatrix}}}}} = 1 8 | ∑ i = 1 8 u i x u i x ∑ i = 1 8 u i x u i y ∑ i = 1 8 u i x u i z ∑ i = 1 8 u i y u i x ∑ i = 1 8 u i y u i y ∑ i = 1 8 u i y u i z ∑ i = 1 8 u i z u i x ∑ i = 1 8 u i z u i y ∑ i = 1 8 u i z u i z | {\textstyle ={\sqrt {{\frac {1}{8}}{\begin{vmatrix}\sum _{i=1}^{8}u_{ix}u_{ix}&\sum _{i=1}^{8}u_{ix}u_{iy}&\sum _{i=1}^{8}u_{ix}u_{iz}\\\sum _{i=1}^{8}u_{iy}u_{ix}&\sum _{i=1}^{8}u_{iy}u_{iy}&\sum _{i=1}^{8}u_{iy}u_{iz}\\\sum _{i=1}^{8}u_{iz}u_{ix}&\sum _{i=1}^{8}u_{iz}u_{iy}&\sum _{i=1}^{8}u_{iz}u_{iz}\end{vmatrix}}}}}
※この「体積」の解説は、「平行六面体」の解説の一部です。
「体積」を含む「平行六面体」の記事については、「平行六面体」の概要を参照ください。
体積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2017/07/28 01:49 UTC 版)
体積の単位は、メートル法の単位が広く使われている。かつては、日本の尺貫法に由来する以下の単位が使われていた。 斗 = 10升 = 18.0391 L 升 = 10合 = 1.80391 L 合 = 0.180391 L
※この「体積」の解説は、「台制」の解説の一部です。
「体積」を含む「台制」の記事については、「台制」の概要を参照ください。
体積
出典:『Wiktionary』 (2021/06/20 14:31 UTC 版)
名詞
語源
関連語
翻訳
参考文献
「 体積」の例文・使い方・用例・文例
- 体積,容積
- 体積
- 体積を計算するなら、縦と横と深さを掛ければよい。
- 体積が大きいからといって常に重量も重いとは限らない。
- 容積, 体積.
- 体積, 容積.
- 気体は加熱されると, 1 度温まるごとにそのセ氏 0 度における体積の約 273 分の 1 だけ膨張する.
- 恒温では気体の体積は圧力に反比例して変化する.
- 体積を持ち空間を占めるもの
- 体積を増やす
- 一定体積の標準溶液あるいは試薬を用いた定量分析
- 化合中の気体の体積(あるいは体積の変化)の測定
- 大きさ、体積、または剛性が立派な
- 気体間の化学反応での体積変化を測定するための、目盛り付きのガラス管から成る測定器
- 液体の体積を測る測定器
- 気体、液体、または、固体の体積を(直接的にまたは置換によりのどちらかで)測定するメーター
- 100億年から200億年前の間のいづれかの時期に、わずかな体積の物体が超高密度、超高温で激変的に爆発したところから宇宙が始まったという理論
- 微分方程式や測定範囲、または体積における方程式の解での積分やその応用を処理する微積分学の一部
- 表面にできる粉状の体積物
- 体積のページへのリンク