値の評価
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/07 10:00 UTC 版)
現在、下記の評価が知られている： （以下、 p1 = 2, p2 = 3, ... といった具合に pk は k 番目の素数を表す） ϑ ( p k ) ≥ k ( ln k + ln ln k − 1 + ln ln k − 2.050735 ln k ) {\displaystyle \vartheta (p_{k})\geq k\left(\ln k+\ln \ln k-1+{\frac {\ln \ln k-2.050735}{\ln k}}\right)} for k ≥ 10 11 , {\displaystyle k\geq 10^{11},} ϑ ( p k ) ≤ k ( ln k + ln ln k − 1 + ln ln k − 2 ln k ) {\displaystyle \vartheta (p_{k})\leq k\left(\ln k+\ln \ln k-1+{\frac {\ln \ln k-2}{\ln k}}\right)} for k ≥ 198 , {\displaystyle k\geq 198,} | ϑ ( x ) − x | ≤ 0.006788 x ln x {\displaystyle |\vartheta (x)-x|\leq 0.006788{\frac {x}{\ln x}}} for x ≥ 10544111 , {\displaystyle x\geq 10544111,} | ψ ( x ) − x | ≤ 0.006409 x ln x {\displaystyle |\psi (x)-x|\leq 0.006409{\frac {x}{\ln x}}} for x ≥ e 2 2 , {\displaystyle x\geq e^{2}2,} ψ ( x ) < ( 1 + 1 36260 ) x {\displaystyle \psi (x)<\left(1+{\frac {1}{36260}}\right)x} for x > 0 , {\displaystyle x>0,} ψ ( x ) − ϑ ( x ) > 0.9999 x {\displaystyle \psi (x)-\vartheta (x)>0.9999{\sqrt {x}}} for x ≥ 121 , {\displaystyle x\geq 121,} 0.9999 x < ψ ( x ) − ϑ ( x ) < 1.00007 x + 1.78 x 3 {\displaystyle 0.9999{\sqrt {x}}<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}} for x > 0 , {\displaystyle x>0,} また、リーマン予想により、次の評価が得られる： | ϑ ( x ) − x | < 1 8 π x ln 2 x {\displaystyle |\vartheta (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\ln ^{2}x} for x ≥ 599 , {\displaystyle x\geq 599,} | ψ ( x ) − x | < 1 8 π x ln 2 x {\displaystyle |\psi (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\ln ^{2}x} for x ≥ 73.2 , {\displaystyle x\geq 73.2,} これらの評価にはリーマンのゼータ関数の零点に関する評価と、チェビシェフ関数に対する複雑な近似公式が必要である。
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