量 誘導方法等による分類

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/11/12 07:32 UTC 版)

誘導方法等による分類

統計量

実測量と推定量

相対量と絶対量

 測定により直接得られる測定値pと、これと同じ種類の量である基準値p0との差または比として示される量を、相対量と呼ぶ。このとき、pやp0を含む元の測定量のことを絶対量と呼ぶ。例えば、相対湿度と絶対湿度がある。「相対~」「絶対~」という用語が特に使われていない場合でも、何らかの基準値との差または比を取った値を相対値と呼び、相対値を測定したり使用したりすることは多い。

外延量と内包量

銀林と遠山らにより考案され日本の小学校算数教育で使われることのある分類概念である[11][12][13]。熱力学で使われる示量変数 (extensive variable) および示強変数 (intensive variable) と発想が似てはいるが別の概念であり、自然科学一般分野や社会科学一般分野、日本国外ではこの分類概念はほとんど使われていない(外部リンクの英語版wikipedia「量」の項参照)。英語へは、外延量はextensive quantity、内包量はintensive quantityと訳されるが、この言葉は英語では熱力学で使われる示量変数および示強変数と同義語である(外部リンクの英語版wikipedia「物理量」、及び示量性と示強性を参照)。

銀林らの分類では、量はまず分離量と連続量に分けられる。連続量は外延量と内包量に分けられる。内包量は度と率に分けられる。ただし分離量を外延量とみなす立場もあるらしい。

外延量は加法性が成り立つ量であり、長さ、質量、時間、面積、体積などである。内包量は加法性が成り立たない量であり、温度、速度、密度、濃度、利率などである。内包量はまた、他の量の乗除によって生み出されたものであり、異なる単位の量同士の乗除によるものが度であり、同じ単位の量同士の乗除によるものが率である。例えば、速度、密度、温度は度であり、濃度、利率は率である。

ここでいう加法性とは測度論のなかの術語であり、二つの集合の合併が加法を意味するということである[11]。つまり共通部分を持たない2つの集合A,Bにそれぞれ量f(A),f(B)が付随するとき、f(A∪B)=f(A)+f(B)が成立することである。例えば内包量である速度にも加法は定義されるが、上記の意味の加法性は成り立たない。つまり外延量とは測度論でいう可算加法的測度であると言える。

遠山によれば、量のなかには加法性の明らかでないものもあって、区別はつねに明確にできるとは限らない[11]。また銀林によれば、角度は外延量と内包量の境にある量である[12]

量の演算と次元

量の次元とは

一般に同じ種類の量同士の間では和と差の演算が定義でき、結果は同じ種類の量になる。異なる種類の量同士の和や差には意味がない。同じ種類の量同士でも異なる種類の量同士でも積や商が定義できることがあり、その結果は演算した量のどちらとも異なる種類の量になる。例えば長さ同士の積は面積であり、長さの時間による商は速さである。このように異なる種類の量同士の間に特定の関係式が成り立つことがあるが、そのような関係式の解析は次元という概念を使うと簡単になることがある。

量の次元とは、相異なる量の間の関係式から具体的数値を無視して量の種類とそのべき乗だけに着目した概念である。具体的には定数係数を無視した等式として、次元の関係式を表す。すなわち、量 q の次元を[ q ]と表せば、以下のようないくつかの次元の関係式が例示できる。

  1. [面積] = [長さ]2
  2. [体積] = [長さ]3
  3. [速さ] = [長さ][時間]−1
  4. [加速度] = [長さ][時間]−2
  5. [力] = [質量][長さ][時間]−2
  6. [仕事] = [質量][長さ]2[時間]−2

具体的数値を考慮すれば、例えば立方体の体積Vと一辺の長さaとの関係は、それぞれの単位をuV,uLとして、

V/uV = (const)(a/uL)3

となり定数constは体積と長さの単位の採り方で変わる。例えば体積の単位としてL(リットル)を採れば、

1 L = 1,000 cm3 = 0.001 m3 = 61.02 inch3

なので、

V/L = (1/1,000)(a/cm)3 = 1,000(a/m)3 = (1/61.02)(a/inch)3

である。しかし指数3は常に変わらず上記の次元の関係式は単位の採り方によらない。さらにVを直方体や三角錐の体積とすれば、

V/m3 = abc/m3
V/m3 = (1/6)ah1h2/m3

などとなるが、やはり次元の関係式は同じである。つまり次元の概念を使えば具体的数値計算を行うことなく、また単位を考慮することもなく、相異なる量の間の関係が理解できるのである。具体的効用には次のようなものがあるが詳細は「次元解析」の項目に詳しい。

  • 等式の両辺の次元が等しいか否かを確認することで、その等式の正しさのチェックができる。
  • 見かけ上異なる量でも次元が等しければ本質的に同等か、強い関係があることが推定できる。
  • ある未知の等式が特定のn種類の量 (q1, q2, ..., qn) の全てを含む場合、次元のみの関係から等式の形が推定できる。(次元解析の項目に良い具体例がある。)

ここで次元が等しいというのは、既知の次元式を用いていくつかの量を他の量の組み合わせで置換して両辺に含まれる量の種類を同じにしたとき、各量の指数が一致するということである。例えば、

[力積] = [力][時間] = [質量][長さ][時間]−1 = [運動量]

となり、力積運動量に対応することが次元解析のみから推定でき、実際に力積は運動量に変換される。ここで力積と運動量は次元は同じだが異なる種類の量であることには注目すべきである。一般に同じ種類の量ならば次元は等しいが、その逆は必ずしも成り立たない。他にも、仕事力のモーメントはどちらも[力][長さ]の次元を持つが異なる種類の量であり、互いに物理的に変換するということもない。この場合どちらも力と長さの積ではあるのだが、仕事ではその長さは力に平行な方向の長さであり、力のモーメントでは力に垂直な方向の長さであるという違いがある。

基本量と組立量

以上のような次元解析の操作は次のように基本量を定めると計算が簡単になり理解しやすくなる。

n種類の量の間にk個の互いに独立な関係式が成り立っていれば、(n − k)個の任意の量を基本量として定め、他の量は基本量の組み合わせで表すことができる。例えば前記の例示式では、質量、長さ、時間を基本量として、他の6種の量の次元を基本量の次元のみで表している。基本量の組み合わせで表すことができる量を組立量というが、基本量が定まれば組立量の次元は基本量のみの次元の積として一意的に表せる。次元を一意的に表せば、2つの量の次元が同じかどうかはひと目でわかる。このような一意的表現のことも、その組立量の次元と呼ぶ。

物理量以外での次元

自然界で測定可能な量、いわゆる広義の物理量では、量の間の関係式は自然法則と量の定義により決まるものなので、次元を使う考察は汎用性が高く有用である。しかし次元は物理量だけにしか使えない概念ではなく、定義がきちんと定まった量でありさえすれば社会的な量などにも通用する。例えば、

人件費 = 時給工数

という関係式の各量の次元は次のように考えられ、両辺の次元は等しいことがわかる。

[金額] = ([金額][人数]−1[時間]−1)×([人数][時間])

社会学や経済学では既知の量の組み合わせ(乗除などの演算)により様々な量が定義されているが、次元を考えればこれらの量の組み合わせ方が露わになり理解がしやすくなるのである。


  1. ^ この「質」は、あえて言えば「品質」の「質」である。
  2. ^ [誰?]性質というものも、複数の「量」を組み合わせて総合的に判断したものと見ることもできる。[要出典]
  3. ^ 領域ごと、学問分野ごとに、扱うのは離散量が多いか、連続量が多いか、異なっている。
  4. ^ なお、量同士の演算においては、これら助数詞も離散量の単位と見なして式の変形などにおいて単位と同様に扱うことが可能である。
  5. ^ [誰?]"一定の体系の下で"とは実際上は国際単位系の下でということであり[要出典]"次元が確定し"とは基本量およびその組立量である[要出典]解釈できる。これは複数の物理的条件により変動するため測定条件を約束事として定義する工業量との区別を意識した定義であろう。[要出典]」 また"定められ単位の倍数として表すことができる"ということは比例尺度または間隔尺度だと言うことであり、例えば順序尺度でしかないモース硬度JIS-Z8103の定義では物理量とは言えない。
  6. ^ この物理量の定義は、心理量と比較すれば、測定者によらない物理現象や物質固有の属性であるという点に特徴を見た定義だと言える。[要出典]」心理量は「心理的要素によって評価される量」とされ、測定対象の物理現象や物質が同じでも測定者が異なれば異なりうる量である。
  7. ^ [誰?]感覚量は、感覚を生ずる物理化学的刺激の強さとほぼ相関している[要出典] [要検証]」と考えている。
  8. ^ [いつ?] [誰?]物理的実体はなく、物理量ではないと言える。[要出典]」と言った人がいる? 「ただし「コインの数」「紙幣の枚数」などは物理量であるとも言える。」とも。
  9. ^ [誰?]は「人為的に定められた量で物理的実体はなく、物理量ではないと言える。[要出典]」とコメントした。
  1. ^ a b 広辞苑第六版「りょう【量】」
  2. ^ a b c d e f g h i j JIS Z8000-1 量及び単位-第1部:一般
  3. ^ a b c d JIS Z8103 計測用語
  4. ^ 計量標準総合センター 国際計量室 ホームページ用語集
  5. ^ a b 二村隆夫『丸善 単位の辞典』丸善、2002年3月
  6. ^ Stevens, S. S. (1946). “On the Theory of Scales of Measurement”. Science 103 (2684): 677–680. Bibcode1946Sci...103..677S. doi:10.1126/science.103.2684.677. PMID 17750512. http://www.sciencemag.org/cgi/rapidpdf/103/2684/677. 
  7. ^ 長倉三郎、他(編)『岩波理化学辞典-第5版』岩波書店、1998年2月
  8. ^ a b c d e f g h i j k l ブリタニカ百科事典
  9. ^ NIST Guide to the SI 8 いくつかの量とその単位についての注
  10. ^ 「IUPAC 物理化学で用いられる量・単位・記号 第3版 日本化学会監修 産業技術総合研究所計量標準総合センター訳]
  11. ^ a b c 遠山啓(Toyama, Hiraku)『遠山啓著作集数学教育論シリーズ(6)量とはなにか』太郎次郎社、1981年7月,p16,69
  12. ^ a b 銀林浩『量の世界-構造主義的分析-』むぎ書房、1986年
  13. ^ 星田直彦『単位171の新知識』講談社ブルーバックス、2005年 ISBN 4-06-257484-5





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