動機付け

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動機付け

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/01 16:28 UTC 版)

「グロタンディーク群」の記事における「動機付け」の解説

可換モノイド M が与えられたとき、加法逆元を導入することによって M から生じる「最も一般的な」アーベル群 K を構成したい。そのようなアーベル群 K は常に存在し、M のグロタンディーク群と呼ばれる。それは以下の普遍性によって特徴づけられ、 M から具体的に構成することもできる。

動機付け

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:22 UTC 版)

「アレクサンドロフ拡大」の記事における「動機付け」の解説

例 (逆立体射影) 一点コンパクト化の幾何学的によく実感できる例は、立体射影の逆を考えることで与えられる。立体射影 S は北極点 (0, 0, 1) を除く単位球面からユークリッド平面への同相写像を陽に与えるものであったことを思い出そう。その逆写像（逆立体射影）S−1: R2 ↪ S2 は開写像かつ、追加の点 ∞ := (0, 0, 1) を添加して得られるコンパクトハウスドルフ空間への稠密な埋め込みとなる。立体射影により緯線円 z = c は平面円 r = √(1 + c)/(1 − c) へ写されるから、北極点 (0, 0, 1) の基本近傍系を取り除いて得られる穴あき球冠 c ≤ z < 1 は平面閉円板 r ≥ √(1 + c)/(1 − c) の補集合に対応する。より定性的に述べれば、∞ における基本近傍系は、K が R2 のコンパクト部分集合を亙るときの S−1(R2 ∖ K) ∪ {∞} によって与えられる。 この例はすでに一般の場合の鍵となる考え方を含んでいる。 位相空間 X からコンパクトハウスドルフ空間 Y への埋め込み c: X ↪ Y で稠密な像を持ち、埋め込み像の補集合 (remainder) が一点: {∞} = Y ∖ c(X) となるならば、c(X) はコンパクトハウスドルフ空間において開、したがって局所コンパクトハウスドルフであるから、それに同相な原像 X も局所コンパクトである。さらに言えば、X がコンパクトならば c(X) は Y において閉であり、したがって稠密でない。よって、一点コンパクト化ができる空間は、コンパクトでなく、局所コンパクトかつハウスルドルフであることが必要十分である。さらに言えば、そのような一点コンパクト化において各 x ∈ X の基本近傍系の像は c(x) ∈ c(X) の基本近傍系を与え、また（コンパクトハウスドルフ空間の部分集合がコンパクトとなるための必要十分条件はそれが閉であることだから）∞ の開近傍はちょうど X の補コンパクト部分集合の c による像に ∞ を添加して得られる集合でなければならない。

動機付け

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/13 01:18 UTC 版)

「随伴行列」の記事における「動機付け」の解説

随伴行列の動機付けは、複素数が行列和と行列積の規則に従うことで 2×2 実行列として有効に表現できることに注意することによってなされる： a + i b ≡ [ a − b b a ] これはつまり各「複素」数 z は、ガウス平面 C（を「実」ベクトル空間 R2 と見たもの）上で z を乗算することによって生じる C 上の「実」一次変換としての「実」2×2 行列として表現されるということである。 従って、複素数を成分とする m×n 行列は、実数を成分とする 2m×2n 行列として表される。このとき共軛転置は、この形に書いた実行列に対して単に転置をとること（をもとの m×n 行列に立ち返って見ること）によって極めて自然に生じる。

動機付け

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/31 08:16 UTC 版)

「有限拡大」の記事における「動機付け」の解説

線型代数学と同様、ガロワ理論は有限次元の方が無限次元よりもはるかに簡単である。原始元の定理は例えばすべての代数体、すなわち有理数体 Q のすべての有限拡大は単拡大であることを保証する。 この枠組みは応用に十分である。これは理論の発明者、Évariste Galois (1811-1832) による応用である。例えば多項式の方程式が解の公式をもつための必要十分条件を与えるアーベルの定理[要リンク修正]を伴う代数方程式の理論を述べることができる。立方体倍積問題や角の三等分、定規とコンパスで作図可能な正多角形の分類のような、古代までさかのぼる幾何学的な問題は、Pierre-Laurent Wantzel (1814-1848) によって有限拡大の枠組みの中で解かれた。フェルマーの最終定理を多くのパラメーターの値に対して証明できる Ernst Kummer (1810-1893) の理論のような数論におけるたくさんの応用もまた述べることができる。 この状況はなお未解決の領域である、例えば群が与えられたときにこの群をガロワ群としてもつ多項式を見つける逆ガロワ理論（フランス語版）。 それにも関わらず、研究の対象が無限拡大であるような数学の大きな分野もまた存在する。歴史的に最初の例は円積問題と関係する。Ferdinand von Lindemann は 1882 年に Q の有限拡大で π を含むものは存在しないことを示した。20世紀の大きな仕事を代表する他の理論は類体論である。それは David Hilbert (1862-1943) によって開かれ、本質的に無限拡大を扱う。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/05/17 09:46 UTC 版)

「反傾表現」の記事における「動機付け」の解説

表現論において、 V のベクトルと V ∗ の線型汎関数はいずれも列ベクトルと考え、したがって表現は左から（行列の乗法によって）作用できる。線型汎関数 φ の v ∈ V への作用 φ ( v ) は行列の乗法 ⟨ φ , v ⟩ ≡ φ ( v ) = φ T v によって表現できる。ただし上付きの T は行列の転置を表す。群 G の作用と整合的であるためには ⟨ ρ ∗ ( g ) φ , ρ ( g ) v ⟩ = ⟨ φ , v ⟩ ⟨ ρ ∗ ( g ) φ , ρ ( g ) v ⟩ = ⟨ ρ ( g − 1 ) T φ , ρ ( g ) v ⟩ = ( ρ ( g − 1 ) T φ ) T ρ ( g ) v = φ T ρ ( g − 1 ) ρ ( g ) v = φ T v = ⟨ φ , v ⟩ となり、整合性を持つことが確かめられる。 リー環の表現に対しては、対応するリー群の表現との整合性を課す。一般に、 Π がリー群の表現であれば、 π ( X ) = d d t Π ( e t X ) | t = 0 によって与えられる π はそのリー環の表現である。 Π ∗ が Π に双対であれば、その対応するリー環の表現 π ∗ は、 π ∗ ( X ) = d d t Π ∗ ( e t X ) | t = 0 = d d t Π ( e − t X ) T | t = 0 = − π ( X ) T で与えられる。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/07/12 20:11 UTC 版)

「函数の平均」の記事における「動機付け」の解説

「算術平均」も参照 有限個の値 y1, y2, …, yn の（算術）平均 y の定義性質は n y ¯ = y 1 + y 2 + ⋯ + y n {\textstyle n{\bar {y}}=y_{1}+y_{2}+\dotsb +y_{n}} であったことを思い出そう。すなわち「その値を n 個加えたものが、与えられた n 項 yi の和に等しいこと」として定義される定数がそれら n 項の平均値である。 その類似対応物として、区間 [a, b] 上で定義された函数 f の（算術）平均 f の定義性質として ∫ a b f ¯ d x = ∫ a b f ( x ) d x を考えるのは自然である。すなわち、f を区間 [a, b] 上で積分したものが [a, b] 上での f の積分値に等しいような定数 f を平均値とする。しかしこのとき、微分積分学の第二基本定理によれば、定数 f の積分は ∫ a b f ¯ d x = f ¯ x | a b = f ¯ b − f ¯ a = ( b − a ) f ¯ と求められ、また積分の第一平均値定理によれば、f が開区間 [a, b] で連続ならば、c ∈ (a, b) が存在して ∫ a b f ( x ) d x = f ( c ) ( b − a ) となることが保証され、この値 f(c) は函数 f(x) の [a, b] における平均値と呼ばれる。そこで f := f(c) と書いて整理すれば、冒頭の定義に至る。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/14 02:39 UTC 版)

「直既約加群」の記事における「動機付け」の解説

多くの状況において、興味の対象である加群は完全直可約である。したがってこのとき直既約加群は「構造の基本単位」であり研究する必要のある唯一の対象と考えられる（クルル・シュミットの定理）。体上の加群（ベクトル空間）や単項イデアル整域 (PID) 上の有限生成加群はこの場合であり、線型作用素のジョルダン標準形の基礎となっている。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/21 13:40 UTC 版)

「ユークリッド環」の記事における「動機付け」の解説

整数全体の成す集合 Z に自然な演算として加法 + と乗法 × を考える。よく知られた整数に対する長除法は、Z における次の事実に強く依拠したものである： 除法の原理 「整数 a と 0 でない整数 b が与えられたとき、a = q × b + r を満たす整数の対 q, r が存在して、さらにそのようなものの中に r = 0 または |r| < |b| を満たすものが取れる」 a および b が正である場合のみを考えることにすれば、r と b に関する制約条件は、単に「r = 0 または r < b」と表すことができる。 任意の環にも加法と乗法の概念があるから、長除法の概念が任意の環で展開できないかを考えるのはある意味で自然なことだが、しかし剰余や商に関する条件（つまり「r = 0 または r < b」）を単なる環の文脈で定義することは（もちろん、環上に何らの順序関係も定義されていないので）容易にはできない。こうして、各元に加法単位元 0 からの「距離」を導く（「次数」や「賦値」などとも呼ばれる）ある種のノルムd を備えた環としてのユークリッド環の概念が導かれる。そうして、制約条件「r = 0 または r < b」は「r = 0 または d(r) < d(b)」で置き換わる。 ユークリッド環の裏にある本質的な考え方は、それが環であって「その任意の元 a と任意の非零元 b に対して、b の倍元の中に a に十分近い元が存在する」という性質を持つということである。もちろん、その環が可除環（あるいは体）であったならば、a × b−1 を倍率として左から b に掛ければ a が得られる。つまり、体や可除環については a に「ちょうど」一致するような b の倍元が存在する。もちろんこのことは一般の環では成立するとは限らない（例えば整数環 Z では成り立たない）から、制約条件は「b の倍元の中に a に十分近い元が存在する」というだけに緩めるのである。 自然な問いとして「次数はどのような集合に値を取るのか」という問題が考えられるが、多くの目的で（特にユークリッドの互除法が自由にできるという目的で）、自然数全体の成す集合 N に値をとるものと定めるのが普通である。自然数全体の成す集合 N の持つ、この文脈で重要になる性質は、それが整列集合を成すことである。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/14 23:49 UTC 版)

「完全加法族」の記事における「動機付け」の解説

X 上の測度とは、X の部分集合に実数を割り当てる写像で、集合の「大きさ」や「容積」の概念を明確にしたものと考えることができる。望むべくは、互いに素な集合の和の測度が、個々の集合の測度の和になること、特にそれが互いに素な集合の無限列に関してさえも成り立つことである。 X の部分集合「すべて」に対してそのような測度を与えられると考えたいところではあるが、これは多くの自然な状況設定において不可能である。例えば選択公理からは、実数直線内の部分集合のふつうの「長さ」を測度とするとき、ヴィタリ集合のような測度を持たない部分集合が存在することが示される。そのような理由から、測度を持つ特別な X の部分集合からなるより小さな族を代わりに考えなければならない。このような集合は可測集合と呼ばれ、それらの族は可測集合に対して期待される演算について閉じている。つまり、可測集合の補集合は可測集合であり、可測集合の可算合併は可測集合である。これらの性質を満たす空でない集合族を σ-集合代数と呼ぶ。 X の部分集合族で σ-集合代数を成すものを通例 Σ（ギリシャ大文字のシグマ）で表し、それらの対 (X, Σ) として与えられる集合代数（集合体）は可測空間と呼ばれる。Σ に属する X の部分集合の間の演算を初等代数学における数の演算と対比して見れば、集合演算としての合併 (∪) と交叉 (∩) は、数の加法と乗法に対応する。σ-集合代数 Σ は、可算無限回の演算まで含めて完備である。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/10/16 09:32 UTC 版)

「基本解」の記事における「動機付け」の解説

基本解が得られれば、元の方程式の求める解を見つけることは簡単である。実際、その方法は畳み込みを用いることで達成される。 基本解はまた、境界要素法による偏微分方程式の数値解においても重要な役割を担う。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/19 05:13 UTC 版)

「機能注釈精密評価」の記事における「動機付け」の解説

生物のゲノムは、数百から数万個の遺伝子で構成されている場合があり、数十万個の異なるタンパク質配列を符号化している。ゲノム配列決定のコストが比較的低いため、遺伝子やタンパク質の配列を決定することは迅速かつ安価である。これまでに数千もの種で配列が決定されているが、タンパク質の多くは十分に特徴付けされていない。細胞内でのタンパク質の役割を実験的に決定するプロセスは、高価で時間のかかる作業である。さらに、機能アッセイ(試験)を行ったとしても、タンパク質の機能を完全に理解できる可能性は低い。そのため、タンパク質を機能的に注釈するための計算ツールを使用することが重要になっている。さまざまな生物学的および進化学的データを用いてタンパク質の機能を推測できる計算機的なタンパク質機能予測法はいくつかあるものの、改善の余地はかなりある。タンパク質の機能を正確に予測することは、生物医学的および薬学的研究に長年の影響を与える可能性がある。 CAFA実験は、計算手法の偏りのない評価を提供し、計算機能予測の研究を激励し、機能予測の全体的な最先端技術への洞察を提供することを目的としている。