反傾表現 （はんけいひょうげん、英 : contragredient representation ）あるいは双対表現 （そうついひょうげん、英 : dual representation ）
ρ
∗
{\displaystyle \rho ^{*}}
G
{\displaystyle G}
群 で、
ρ
{\displaystyle \rho }
ベクトル空間
V
{\displaystyle V}
G
{\displaystyle G}
線型表現 であるとき、以下のようにして双対ベクトル空間
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
[ 1]
ρ
∗
(
g
)
{\displaystyle \rho ^{*}(g)}
ρ
(
g
−
1
)
{\displaystyle \rho \left(g^{-1}\right)}
転置 である、つまり、すべての
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
ρ
∗
(
g
)
=
ρ
(
g
−
1
)
T
{\displaystyle \rho ^{*}(g)=\rho \left(g^{-1}\right)^{T}}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
リー環 で
π
{\displaystyle \pi }
V
{\displaystyle V}
π
∗
{\displaystyle \pi ^{*}}
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
[ 2]
すべての
X
∈
g
{\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}
π
∗
(
X
)
=
−
π
(
X
)
T
{\displaystyle \pi ^{*}(X)=-\pi (X)^{T}}
いずれの場合にも、反傾表現は通常の意味での表現である。
ユニタリ表現 に対しては、反傾表現は共役表現（フランス語版 ） と等しい。
表現論において、
V
{\displaystyle V}
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
列ベクトル と考え、したがって表現は左 から（行列の乗法によって）作用できる。線型汎関数
φ
{\displaystyle \varphi }
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
φ
(
v
)
{\displaystyle \varphi (v)}
⟨
φ
,
v
⟩
≡
φ
(
v
)
=
φ
T
v
{\displaystyle \left\langle \varphi ,v\right\rangle \equiv \varphi (v)=\varphi ^{T}v}
によって表現できる。ただし上付きの
T
{\displaystyle T}
G
{\displaystyle G}
⟨
ρ
∗
(
g
)
φ
,
ρ
(
g
)
v
⟩
=
⟨
φ
,
v
⟩
{\displaystyle \left\langle \rho ^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\right\rangle =\left\langle \varphi ,v\right\rangle }
が要求される[ 3]
⟨
ρ
∗
(
g
)
φ
,
ρ
(
g
)
v
⟩
=
⟨
ρ
(
g
−
1
)
T
φ
,
ρ
(
g
)
v
⟩
=
(
ρ
(
g
−
1
)
T
φ
)
T
ρ
(
g
)
v
=
φ
T
ρ
(
g
−
1
)
ρ
(
g
)
v
=
φ
T
v
=
⟨
φ
,
v
⟩
{\displaystyle \left\langle {\rho }^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\right\rangle =\left\langle \rho \left(g^{-1}\right)^{T}\varphi ,\rho (g)v\right\rangle =\left(\rho \left(g^{-1}\right)^{T}\varphi \right)^{T}\rho (g)v=\varphi ^{T}\rho \left(g^{-1}\right)\rho (g)v=\varphi ^{T}v=\left\langle \varphi ,v\right\rangle }
となり、整合性を持つことが確かめられる。
リー環の表現に対しては、対応するリー群の表現との整合性を課す。一般に、
Π
{\displaystyle \Pi }
π
(
X
)
=
d
d
t
Π
(
e
t
X
)
|
t
=
0
{\displaystyle \pi (X)=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi \left(e^{tX}\right)\right|_{t=0}}
によって与えられる
π
{\displaystyle \pi }
Π
∗
{\displaystyle \Pi ^{*}}
Π
{\displaystyle \Pi }
π
∗
{\displaystyle \pi ^{*}}
π
∗
(
X
)
=
d
d
t
Π
∗
(
e
t
X
)
|
t
=
0
=
d
d
t
Π
(
e
−
t
X
)
T
|
t
=
0
=
−
π
(
X
)
T
{\displaystyle \pi ^{*}(X)=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi ^{*}\left(e^{tX}\right)\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi \left(e^{-tX}\right)^{T}\right|_{t=0}=-\pi (X)^{T}}
で与えられる[ 4]
群
G
{\displaystyle G}
(
ρ
1
,
V
1
)
{\displaystyle \left(\rho _{1},V_{1}\right)}
(
ρ
2
,
V
2
)
{\displaystyle \left(\rho _{2},V_{2}\right)}
Hom
(
V
1
,
V
2
)
{\displaystyle \operatorname {Hom} \left(V_{1},V_{2}\right)}
G
{\displaystyle G}
Hom
(
ρ
1
,
ρ
2
)
=
ρ
{\displaystyle \operatorname {Hom} \left(\rho _{1},\rho _{2}\right)=\rho }
[ 5]
すべての
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
f
∈
Hom
(
V
1
,
V
2
)
{\displaystyle f\in \operatorname {Hom} \left(V_{1},V_{2}\right)}
ρ
(
g
)
(
f
)
=
ρ
2
(
g
)
∘
f
∘
ρ
1
(
g
−
1
)
{\displaystyle \rho (g)(f)=\rho _{2}(g)\circ f\circ \rho _{1}\left(g^{-1}\right)}
反傾表現は、
(
ρ
2
,
V
2
)
{\displaystyle \left(\rho _{2},V_{2}\right)}
^ Lecture 1 of Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course , Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics, 129 , New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97495-8 , MR
1153249 ,
ISBN 978-0-387-97527-6 p. 4 ^ Lecture 8 of Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course , Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics, 129 , New York: Springer-Verlag ,
ISBN 978-0-387-97495-8 , MR
1153249 ,
ISBN 978-0-387-97527-6 p. 111 ^ Lecture 1, page 4 of Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course , Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics, 129 , New York: Springer-Verlag ,
ISBN 978-0-387-97495-8 , MR
1153249 ,
ISBN 978-0-387-97527-6 ^ Lecture 8, page 111 of Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course , Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics, 129 , New York: Springer-Verlag ,
ISBN 978-0-387-97495-8 , MR
1153249 ,
ISBN 978-0-387-97527-6 ^ A. Chambert-Loir, Introduction aux groupes et algèbres de Lie , cours de master 2 à l'université de Rennes 1 (2004-2005), p. 21
