公理とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 04:09 UTC 版)

「命題論理」の記事における「公理」の解説

公理集合は空集合を採用する。

※この「公理」の解説は、「命題論理」の解説の一部です。
「公理」を含む「命題論理」の記事については、「命題論理」の概要を参照ください。

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/03 23:44 UTC 版)

「ツェルメロ＝フレンケル集合論」の記事における「公理」の解説

ZFCの公理には多くの同値な定式化が存在する（これについての議論は Fraenkel, Bar-Hillel & Lévy 1973を参照せよ）。以下に示す公理は、 Kunen (1980) に従った。公理自体は一階述語論理の記号で表される。論理式に付随する説明は理解を助けるためのものである。 ZFCのどの定式化でも、少なくとも1つの集合が存在することを示唆する。 Kunenは以下に示す公理に加えて、集合の存在を直接主張する公理を含めた（ただし、彼は「強調のため」だけに含めたことに注意）。集合の存在を直接主張する公理の省略は、2つの方法で正当化できる。まず1つ目として、通常ZFCが形式化される一階述語論理の標準的な文脈では、論議領域が空でない必要がある。したがって、「何か」が存在することは一階述語論理の論理的定理である。この定理は通常、「何か」がそれ自体と同一であるという命題 ∃ x ( x = x ) {\displaystyle \exists x(x=x)} として表される。前述の通り、ZFCの言語では集合のみを扱うため、この論理的定理をZFCの言語で解釈すると、何らかの集合が存在するということになる。したがって、集合が存在することを主張する別の公理は必要ない。2つ目として、ZFCがいわゆる自由な論理学（英語版）で定式化されていても、論理だけでは何かが存在することを証明できない場合でも、無限公理（後述）は無限集合が存在すると主張する。これは何らかの集合が存在することを意味するので、繰り返しだが、追加の公理は不要である。

※この「公理」の解説は、「ツェルメロ＝フレンケル集合論」の解説の一部です。
「公理」を含む「ツェルメロ＝フレンケル集合論」の記事については、「ツェルメロ＝フレンケル集合論」の概要を参照ください。

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/09/08 09:19 UTC 版)

「コンセプト (C++)」の記事における「公理」の解説

axiomキーワードを用いて、コンセプトを実装する型が満たすべき性質を記述できる。これはコードの動作には寄与せず、コードチェッカやIDEへのヒントとしての利用が想定されている。

※この「公理」の解説は、「コンセプト (C++)」の解説の一部です。
「公理」を含む「コンセプト (C++)」の記事については、「コンセプト (C++)」の概要を参照ください。

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/08 21:20 UTC 版)

「ジャイロベクトル空間」の記事における「公理」の解説

マグマ ( G , ⊕ ) {\displaystyle (G,\oplus )} は、二項演算 ⊕ {\displaystyle \oplus } が次の公理を満たすときジャイロ群であるという。 Gは少なくとも1つの左単位元0を持ち、全ての a ∈ G {\displaystyle a\in G} に対して 0 ⊕ a = a {\displaystyle 0\oplus a=a} を満たす。 各 a ∈ G {\displaystyle a\in G} に対してaの左逆元 ⊖ a ∈ G {\displaystyle \ominus a\in G} が存在し、 ⊖ a ⊕ a = 0 {\displaystyle \ominus a\oplus a=0} を満たす。 全ての a , b , c ∈ G {\displaystyle a,b,c\in G} に対してGの要素 g y r [ a , b ] c {\displaystyle \mathrm {gyr} [a,b]c} が1つ定まり、ジャイロ結合則 a ⊕ ( b ⊕ c ) = ( a ⊕ b ) ⊕ g y r [ a , b ] c {\displaystyle a\oplus (b\oplus c)=(a\oplus b)\oplus \mathrm {gyr} [a,b]c} を満たす。 c ↦ g y r [ a , b ] c {\displaystyle c\mapsto \mathrm {gyr} [a,b]c} によって定義される写像 g y r [ a , b ] : G → G {\displaystyle \mathrm {gyr} [a,b]:G\to G} は マグマ ( G , ⊕ ) {\displaystyle (G,\oplus )} の自己同型である。すなわち、 g y r [ a , b ] ∈ A u t ( G , ⊕ ) {\displaystyle \mathrm {gyr} [a,b]\in \mathrm {Aut} (G,\oplus )} である。自己同型 g y r [ a , b ] {\displaystyle \mathrm {gyr} [a,b]} を a, bによって生成されるGのジャイロ自己同型（gyroautomorphism）という。 g y r : G × G → A u t ( G , ⊕ ) {\displaystyle \mathrm {gyr} :G\times G\to \mathrm {Aut} (G,\oplus )} はGのジャイレータ (gyrator) と呼ぶ。 ジャイロ自己同型 g y r [ a , b ] {\displaystyle \mathrm {gyr} [a,b]} は左ループ性を持つ。すなわち、 g y r [ a , b ] = g y r [ a ⊕ b , b ] {\displaystyle \mathrm {gyr} [a,b]=\mathrm {gyr} [a\oplus b,b]} 。 最初の2つの公理は群の公理と類似している。 最後の2つの公理はジャイレータに関するものであり、真ん中の公理がそれらを繋げるものである。 ジャイロ群は逆元と単位元を持つため、準群（英語版）であり、かつループ（英語版）でもある。 ジャイロ群は群の一般化である。実際、群はgyrが恒等写像であるようなジャイロ群と見なせる。

※この「公理」の解説は、「ジャイロベクトル空間」の解説の一部です。
「公理」を含む「ジャイロベクトル空間」の記事については、「ジャイロベクトル空間」の概要を参照ください。

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/07 23:42 UTC 版)

「関係代数 (数学)」の記事における「公理」の解説

以下にあげる公理 B1-B10 は元々タルスキが 1948年に提唱したものを Givant が 2006年に修正したものである。この公理化は、項数 〈2,2,1,1,0〉-型の算号 〈L,∨, •,-, ˘, I〉 を持つ、ある二項直積 L = X2 の上の代数的構造としての関係代数をもとにして作られたものである。 L は二項演算である選言 ∨ と単項演算である補元 ‾ の下でブール代数である。ブール代数のこの種の公理化は Huntington (en) による(1933年)。 B1: A ∨ B = B ∨ A B2: A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C B3: (A‾ ∨ B)‾ ∨ (A‾ ∨ B‾)‾ = A L は二項演算である合成 • と零項演算である I を恒等元としてモノイドをなす: B4: A •(B • C) = (A • B)• C B5: A • I = A 単項演算である逆 ˘ は合成に関する対合である: B6: A˘˘ = A B7: (A • B)˘ = B˘ • A˘ 逆と合成は選言について分配的である: B8: (A ∨ B)˘ = A˘ ∨ B˘ B9: (A ∨ B)• C = (A • C) ∨ (B • C) B10 はド・モルガンに発見された事実 A • B ≤ C‾ ⇔ A˘ • C ≤ B‾ ⇔ C • B˘ ≤ A¯ を等式表示したものである: B10: (A˘ •(A • B)‾) ∨ B‾ = B‾ これらの公理は ZFC 上の定理である。ブール代数に関する B1-B3 についてはこの事実は自明であり、またそれ以外のものについては 1960年に出版された Suppes の本の第三章で紹介されている。

※この「公理」の解説は、「関係代数 (数学)」の解説の一部です。
「公理」を含む「関係代数 (数学)」の記事については、「関係代数 (数学)」の概要を参照ください。

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/11 15:37 UTC 版)

「ペルシア語のラテン文字表記法」の記事における「公理」の解説

UniPers式表記法には5つの公理がある。 表記法はペルシア語に対して用いられるものであり、他の用途に使用されるべきではない。他の言語には適用されない。 アルファベットと数詞に関しては、必要であればダイアクリティカルマークなどの記号を付加する。 表記の単純さ、使用の容易さを優先する。表記はペルシア語で広く使用される翻字を使用するものとし、ダイアクリティカルマークなどの記号は最小に留める。 アルファベットの各々の文字は標準的なペルシア語の音価と対応していなければならない。全てのペルシア語の標準的な音韻はラテン文字表記と一対一で対応していなければならない。この対応に関しては、ダイアクリティカルマークなど他の記号を援用することは許されない。 表記ルールや規定には従わなければならない。また、ペルシア語の標準的な発音や流れに反するようなものであってはならない。

※この「公理」の解説は、「ペルシア語のラテン文字表記法」の解説の一部です。
「公理」を含む「ペルシア語のラテン文字表記法」の記事については、「ペルシア語のラテン文字表記法」の概要を参照ください。

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/20 07:51 UTC 版)

「生存可能システムモデル」の記事における「公理」の解説

（公理は「信じるに値する」ステートメントです） これらの公理は次のとおりです。 n個の運用要素（システム1）によって配置された水平方向の多様性の合計は、企業の結束の6つの垂直方向のコンポーネントによって配置された垂直方向の多様性の合計に等しくなります。 （6つは、Environment、System Three *、System Ones、System Two、System Three、およびAlgedonicアラートからのものです。 ）。 最初の公理の操作の結果としてシステム3によって処分された品種は、システム4によって処分された品種と同じです。 システム5によって処理される多様性は、第2公理の操作によって生成される残余の多様性に等しくなります。

※この「公理」の解説は、「生存可能システムモデル」の解説の一部です。
「公理」を含む「生存可能システムモデル」の記事については、「生存可能システムモデル」の概要を参照ください。

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/10 03:00 UTC 版)

「概念記法」の記事における「公理」の解説

第2章でフレーゲは,9つの式化された命題を公理として宣言し,それらは意図された意味を与えられて直観的真実を表現する,と非公式に論争してそれらを正当化した。現代的な表記法で再表現すると,これらの公理は次のとおりである: ⊢     A → ( B → A ) {\displaystyle \vdash \ \ A\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)} ⊢     [   A → ( B → C )   ]   →   [   ( A → B ) → ( A → C )   ] {\displaystyle \vdash \ \ \left[\ A\rightarrow \left(B\rightarrow C\right)\ \right]\ \rightarrow \ \left[\ \left(A\rightarrow B\right)\rightarrow \left(A\rightarrow C\right)\ \right]} ⊢     [   D → ( B → A )   ]   →   [   B → ( D → A )   ] {\displaystyle \vdash \ \ \left[\ D\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)\ \right]\ \rightarrow \ \left[\ B\rightarrow \left(D\rightarrow A\right)\ \right]} ⊢     ( B → A )   →   ( ¬ A → ¬ B ) {\displaystyle \vdash \ \ \left(B\rightarrow A\right)\ \rightarrow \ \left(\lnot A\rightarrow \lnot B\right)} ⊢     ¬ ¬ A → A {\displaystyle \vdash \ \ \lnot \lnot A\rightarrow A} ⊢     A → ¬ ¬ A {\displaystyle \vdash \ \ A\rightarrow \lnot \lnot A} ⊢     ( c = d ) → ( f ( c ) → f ( d ) ) {\displaystyle \vdash \ \ \left(c=d\right)\rightarrow \left(f(c)\rightarrow f(d)\right)} ⊢     c = c {\displaystyle \vdash \ \ c=c} ⊢     (   ∀ a : f ( a )   )   →   f ( c ) {\displaystyle \vdash \ \ \left(\ \forall a:f(a)\ \right)\ \rightarrow \ f(c)} これらは『概念記法』の命題1,2,8,28,31,41,52,54,および58である。 (1)-(3)は質量含意（実質含意）を支配する,(4)-(6)は否定,(7)および(8)は相等性,(9)は全称量化子である。 (7)はライプニッツの不可識別者の同一性を表現し,(8)は相等性が反射的であることを主張する。 他の命題はすべて,(1)- (9)から次の推論規則を実施することによって推論される。

※この「公理」の解説は、「概念記法」の解説の一部です。
「公理」を含む「概念記法」の記事については、「概念記法」の概要を参照ください。

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 08:09 UTC 版)

「ロビンソン算術」の記事における「公理」の解説

Qの基盤となる理論は等号付き一階述語論理である。言語は次の構成要素からなる： 単項関数記号: 後者 S {\displaystyle S} 二項関数記号: 加法 + {\displaystyle +} と乗法 ⋅ {\displaystyle \cdot } 次に示すQ'の公理(Q1)–(Q7)はBurgess (2005)による。束縛されていない変数記号は暗黙的に全称量化されているものと考える。すなわちQは以下に示す論理式の全称閉包を公理とする： S x ≠ 0 {\displaystyle Sx\neq 0} 0 は他の数の後者ではない。 S x = S y → x = y {\displaystyle Sx=Sy\to x=y} もし x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} の後者が等しいならば x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} も等しい。すなわち S {\displaystyle S} (の解釈)は単射である。(1)と(2)より S {\displaystyle S} (の解釈)はドメインから 0 {\displaystyle 0} (の解釈)を除いた集合への単射である。すなわちドメインはデデキント無限である。 y = 0 ∨ ∃ x ( S x = y ) {\displaystyle y=0\vee \exists x(Sx=y)} 任意の数は 0 {\displaystyle 0} であるか別の数の後者である。PAではこの公理は数学的帰納法の公理図式から導くことができるが、Qはこれを持たないので公理として採用しなければならない。 x + 0 = x {\displaystyle x+0=x} x + S y = S ( x + y ) {\displaystyle x+Sy=S(x+y)} (4)と(5)は加法の再帰的定義である。 x ⋅ 0 = 0 {\displaystyle x\cdot 0=0} x ⋅ S y = x ⋅ y + x {\displaystyle x\cdot Sy=x\cdot y+x} (6)と(7)は乗法の再帰的定義である。

※この「公理」の解説は、「ロビンソン算術」の解説の一部です。
「公理」を含む「ロビンソン算術」の記事については、「ロビンソン算術」の概要を参照ください。

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/04 17:58 UTC 版)

「確率の公理」の記事における「公理」の解説

以上の議論をまとめて、現代では以下のように要約する。 Ω {\displaystyle \Omega } は任意の集合、 F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} は Ω {\displaystyle \Omega } 上の完全加法族（σ-集合体）（あるいは有限加法族）、 P {\displaystyle P} は F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} 上の集合関数とする。 P {\displaystyle P} が次の3条件を満たすとき、 P {\displaystyle P} は ( Ω , F ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}})} 上の確率測度となり、 Ω {\displaystyle \Omega } は標本空間、 F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} は事象空間と呼ばれる。

※この「公理」の解説は、「確率の公理」の解説の一部です。
「公理」を含む「確率の公理」の記事については、「確率の公理」の概要を参照ください。