概念記法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/10/05 19:17 UTC 版)
『概念記法』（がいねんきほう、独: Begriffsschrift）は、ゴットロープ・フレーゲによって1879年に出版された論理学に関する短い本の題名であり、またその本で創始された形式体系の名称である。
この本の完全な書名は「算術の式言語を模した、純粋な思考のための一つの式言語 eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens」である。『概念記法』は、アリストテレスが論理学という主題を創設して以来、論理学に関するおそらく最も重要な出版物であった。フレーゲが自分の式を開発して論理に到達しようとした動機は、ライプニッツが彼の推論計算機に対して持った動機と似ている。続いてフレーゲは、数学の基礎の研究に彼の論理計算を用い、それは次の四半世紀にわたって遂行された。
『概念記法』の意義
Terrell Ward Bynumは『概念記法』の意義を11項目挙げている[1]。そのうちの主なものは以下の通りである。
命題関数
命題関数の発明（第1章§9 関数）。「水素は二酸化炭素より軽い」を表す式言語において,「水素」の代わりに「酸素」あるいは「窒素」を代入することができる。そこで,「水素」を項,「二酸化炭素より軽い」を関数と呼ぶ。項Aの関数をΦ（A）のように書く。フレーゲは,それまで名辞（主語－述語）で表されていた命題を,関数で表したのである。
量化理論
量化理論の発明（§11 一般性）。「すべての（all）」や「ある(some)」を扱う量化記号を導入した。これによって「誰もが誰かを愛している」のような多重量化された文を扱うことができるようになった。
関係の祖先
関係の祖先の最初の定式化（第3章§23- 系列の一般理論）。後述「祖先関係」。
数学的帰納法
数学的帰納法の証明の最初の論理的分析（第3章§23- 系列の一般理論）。後述「祖先関係」の「数学的帰納法」。
である。また,第二階の量化の考えも見られる。
第二階の量化
（§10）。フレーゲは,Φ（A）において記号Φは他の記号Ψ,Xで置き換え可能なものであるから,Φ（A）を項Φの関数と見なすことができる,と言う。ここで彼は関数の関数を考えている。
表記法およびシステム
この計算には,量化された変数という概念が初めて導入され,また,高度に特異的な2次元表記法で表示されているとはいえ,同一性を持った本質的に古典的な2値の二階論理である：結合子と限量子は,今日使用される￢,∧,∀ではなく,式をつなぐ線を用いて書かれる。たとえば,Bという判断に材料として判断Aが含まれること(実質含意),すなわち
と書かれる。
第1章でフレーゲは,命題(「判断」),全称量化子(「一般性」),条件法,否定,内容の相等性のための記号
はこれらの可能性のうちで3番目のことは起こらず,他の3つのうちの1つが起こるという判断を意味する。すなわち,我々が 
を否定するということは,3番目の可能性が妥当であることを意味する,すなわち我々はAを否定し,かつ,Bを肯定する。」
公理
第2章でフレーゲは,9つの式化された命題を公理として宣言し,それらは意図された意味を与えられて直観的真実を表現する,と非公式に論争してそれらを正当化した。現代的な表記法で再表現すると,これらの公理は次のとおりである:
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