公理の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/11 22:53 UTC 版)
以下にいくつかの公理の例を示す。 命題 P が成立するなら、命題「PまたはQ」も成立する。 2つの点が与えられたとき、その2点を通るような直線を引くことができる（ユークリッド幾何学）。 平行でない二つの異なる直線はただ一点で交わる（ユークリッド幾何学）。 a=b なら、a+c = b+cである（ユークリッド原論を参照）。 どんな自然数に対しても、その数の「次の」自然数が存在する（ペアノの公理）。 どんなものも含まないような集合（空集合）が存在する（公理的集合論）。 集合 S と条件式 P が与えられたとき、S の元のうち、条件 P(x) を満たすような x だけからなる集合を作ることができる（公理的集合論）。 すべての集合 x に対して、x ∈ {\displaystyle \in } U のようなグロタンディーク宇宙 U が存在する（グロタンディーク宇宙）。 公理にもとづいて証明される命題は定理という。以下に定理の例を示す。 ２本の平行な線とそれに平行でない一本の直線が成す錯角は等しい（ユークリッド幾何学）。 三角形の内角の和は180度である（ユークリッド幾何学）。 円周角の定理（ユークリッド幾何学）。
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