公理的方法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/29 21:31 UTC 版)
正則性、線型性、安定性を公理として扱えば、多くの発散級数を初等代数的操作のみで総和することが可能である。たとえば、r ≠ 1 なる任意の公比 r に対する幾何級数 G(r, c) に対して、 G ( r , c ) = ∑ k = 0 ∞ c r k = c + ∑ k = 0 ∞ c r k + 1 (stability) = c + r ∑ k = 0 ∞ c r k (linearity) = c + r G ( r , c ) G ( r , c ) = c 1 − r {\displaystyle {\begin{aligned}G(r,c)&=\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}\\&=c+\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k+1}\quad {\text{(stability)}}\\&=c+r\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}\quad {\text{(linearity)}}\\&=c+r\,G(r,c)\\G(r,c)&={\frac {c}{1-r}}\\\end{aligned}}} というように、収束性を考えることなしに評価することができる。より厳密に言えば、これらの性質を持ち、有限な値を定める任意の総和法において、幾何級数には必ずこの値が与えられなければならない。しかし r が 1 より大きい実数のときは、その部分和は際限なく増加し、平均化法では極限としての ∞ が幾何級数の値として与えられることになる。
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