公理系1
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 04:09 UTC 版)
スティーブン・コール・クリーネによって導入された体系では11の公理と一つの推論規則が用いられる。 名前公理備考THEN-1 ϕ → ( χ → ϕ ) {\displaystyle \phi \rightarrow (\chi \rightarrow \phi )} 含意の導入と一般的に呼ぶ THEN-2 ( ϕ → ( χ → ψ ) ) → ( ( ϕ → χ ) → ( ϕ → ψ ) ) {\displaystyle (\phi \rightarrow (\chi \rightarrow \psi ))\rightarrow ((\phi \rightarrow \chi )\rightarrow (\phi \rightarrow \psi ))} 「含意の推移性」に対応。フレーゲの三段論法と一般的に呼ぶ。 AND-1 ϕ ∧ χ → ϕ {\displaystyle \phi \land \chi \rightarrow \phi } 「論理積の消去」に対応。単純化と呼ぶ。 AND-2 ϕ ∧ χ → χ {\displaystyle \phi \land \chi \rightarrow \chi } 「論理積の消去」に対応。 AND-3 ϕ → ( χ → ( ϕ ∧ χ ) ) {\displaystyle \phi \rightarrow (\chi \rightarrow (\phi \land \chi ))} 「論理積の導入」に対応。 OR-1 ϕ → ϕ ∨ χ {\displaystyle \phi \rightarrow \phi \lor \chi } 「論理和の導入」に対応。 OR-2 χ → ϕ ∨ χ {\displaystyle \chi \rightarrow \phi \lor \chi } 「論理和の導入」に対応。 OR-3 ( ϕ → ψ ) → ( ( χ → ψ ) → ( ϕ ∨ χ → ψ ) ) {\displaystyle (\phi \rightarrow \psi )\rightarrow ((\chi \rightarrow \psi )\rightarrow (\phi \lor \chi \rightarrow \psi ))} NOT-1 ( ϕ → χ ) → ( ( ϕ → ¬ χ ) → ¬ ϕ ) {\displaystyle (\phi \rightarrow \chi )\rightarrow ((\phi \rightarrow \lnot \chi )\rightarrow \lnot \phi )} 「背理法」に対応。 NOT-2 ϕ → ( ¬ ϕ → χ ) {\displaystyle \phi \rightarrow (\lnot \phi \rightarrow \chi )} 「principle of explosion 矛盾からは何でも導出できる」。 NOT-3 ϕ ∨ ¬ ϕ {\displaystyle \phi \lor \lnot \phi } 「排中律」。 公理 AND-1 と公理 AND-2 の平行性は論理積の可換性を反映している。 公理 OR-1 と公理 OR-2 の平行性は論理和の可換性を反映している。 公理 NOT-2 に何らかの制限を加えて論理体系を構成する方法は矛盾許容論理と呼ぶ。 公理 NOT-3 は命題式の意味論的値付けの可能性を反映している：式の真理値は真か偽のどちらかである。少なくとも古典的論理学においては第三の真理値という可能性は考慮されない。公理 NOT-3 を認めないで論理体系を構成する方法は直観主義論理と呼ぶ。 推論規則はモーダスポネンス、つまり ϕ {\displaystyle \phi } と ( ϕ → ψ ) {\displaystyle (\phi \rightarrow \psi )} という形の整式からは ψ {\displaystyle \psi } を推論できる のみを規約する。上記の公理系とこの推論規則から#推論規則節で述べられたのと同じ演繹が可能になる。
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