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論理学

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哲学
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論理学では、モーダスポネンスのような形式的に妥当な推論を研究する。

論理学（ろんりがく、古希: λογικὴ τέχνη、古代ギリシア語ラテン翻字: logikè téchnē、英: logic、独: Logik、仏: Logique）は、正しい推論の研究である。形式論理学および非形式論理学が含まれる。形式論理学は、演繹的に妥当な推論あるいは論理的真理の研究である。論証の議題や内容とは無関係に、論証の構造のみにより、前提からどのように結論が導かれるかを研究する。非形式論理学は、非形式的誤謬、批判的思考、議論学と関わりがある。非形式論理学は自然言語で記述される論証を研究する一方、形式論理学は形式言語を用いる。各形式論理体系は、証明系を記述する。論理学は、哲学、数学、計算機科学、言語学を含む多くの分野で中核をなす。

論理学は、前提の集合および結論からなる論証を研究する。論証の例には、前提「今日は日曜日である」および「今日が日曜日であれば、私は働かなくて良い」から結論「私は働かなくて良い」を導くものがある。前提および結論は、命題あるいは真理適合的な言明を表現する。命題の重要な側面は、その内部構造にある。例えば、複合命題は、 $\land$

形式論理学では、自然言語で記述された論証の妥当性を評価するには、まず論証を一階述語論理などの形式言語に翻訳する必要がある。この例では、文字 $c$

論理学で用いられる論証関連の用語

論証および推論には、正しいものと正しくないものがある。論証および推論は、前提が結論を支持する場合に正しい。正しくない場合、この支持が欠けている。結論の支持は、推論の種類によって異なる形態を取る。演繹的推論は、最も強い支持を持つ。ただし、前提に演繹以外の結論の支持があり、演繹に妥当でない論証も正しい論証である場合がある。この場合、帰納的推論または拡充的推論の用語が用いられる。演繹的論証は形式論理学と関連し、拡充的論証は非形式論理学と関連する。

演繹的論証

演繹的に妥当な論証では、前提が結論の真理を保証する。論証「(1) すべてのカエルは両生類である; (2) 両生類の猫は存在しない; (3) したがって、猫であるカエルは存在しない」は、演繹的に妥当な論証の例である。演繹的妥当性の評価では、前提や結論が実際に真であるかは考慮しない。したがって、論証「(1) すべてのカエルは哺乳類である; (2) 哺乳類の猫は存在しない; (3) したがって、猫であるカエルは存在しない」も、前提から結論が必然的に導かれるため、妥当である。

アルフレト・タルスキによると、演繹的論証は次の3つの不可欠な要素を持つ。(1) 形式的である。つまり、前提および結論の形式のみに依存する。(2) アプリオリである。つまり、評価に経験を必要としない。(3) 様相的である。つまり、その他の条件とは無関係に、命題の論理的必然性のみにより成立する。

1つ目の要素 (論証の形式性) により、演繹的推論は、推論規則と同一視される。各推論規則は、前提および結論の形式 (推論が妥当であるための構造) を定義する。どの推論規則にも適合しない論証は、演繹的に妥当でない。モーダスポネンスは、基本的な推論規則であり、「(1) $p$

Young America's dilemma: 賢く偉大であるべきか、裕福で強くあるべきか? (1901年のポスター) 。これは、起こりうる事象を除外する選言的前提で、非形式的誤謬の一種である誤った二分法の例である。

誤謬は、形式的誤謬および非形式的誤謬に分類される。形式的誤謬では、論証の形式に問題が存在する。前件否定は、形式的誤謬の一種である。ただし、多くの種類が学術的に議論されているほとんどの誤謬は非形式的誤謬である。非形式的誤謬では、論証の内容あるいはコンテキストに問題が存在する。非形式的誤謬は、さらに曖昧さの誤謬、仮定の誤謬、関連性の誤謬に分類される場合がある。曖昧さの誤謬では、「羽毛は明るい; 明るいものが暗いことはあり得ない; したがって、羽毛が暗くなることはない」のように、自然言語の曖昧さが誤りの原因となる。仮定の誤謬では、間違っているか、正当化されない仮定が含まれる。関連性の誤謬では、前提が結論と無関係であるため、結論が前提により支持されない。

定義的・戦略的規則

論理学では、論証が正しい、あるいは正しくないための条件に注目する。これらの条件に違反する場合、誤謬が存在する。形式論理学では、これらの条件を推論規則と呼ぶ。推論規則は、推論の正しさや許容される推論を決定する定義的規則である。定義的規則は、戦略的規則と対比される。戦略的規則は、ある前提の集合から結論を導くために必要な推論の手順を決定する。この区別は、論理学だけでなく、ゲームにも存在する。例えばチェスでは、定義的規則が、ビショップが斜めにのみ移動できるということを規定する。一方、戦略的規則は、中央を制圧し、キングを守るなど、ゲームに勝つために合法手をどのように用いることができるかを規定する。戦略的規則は、効率的な推論に重要であり、論理学者は戦略的規則により重きを置くべきであると主張される。

形式体系

形式論理体系は、形式言語および公理の集合と、これらの公理から推論を行うための証明系からなる。論理学では、証明なしに受け入れられる文を公理という。公理は、他の文の正当化に用いられる。一部の論理学者は、形式言語の表現と現実の対象の関係を規定する形式意味論を形式論理体系に含める。19世紀後半より、多くの新たな形式体系が提案されてきた。

形式言語は、アルファベットおよび構文規則からなる。アルファベットは、論理式で用いられる基本的な記号の集合であり、構文規則は、これらの記号を用いてwell-formed formulaを立式する方法を規定する。例えば、命題論理の構文規則は、 $P\land Q$

ゴットロープ・フレーゲは『概念記法』で、量化記号の概念を図示して導入した。この図は、 $\forall x.F(x)$

論理積 (AND) は、ブール論理における基本的な操作の一つである。論理積は、2個のトランジスタを用いるなど、複数の方法で電子的に実装できる。

計算論理学は、コンピュータを用いた数学の推論および論理的形式性の実装を研究する論理学および計算機科学の分野である。この分野には、例えば、推論規則を用いて人間の仲介なしに前提から結論への証明を構築する自動定理証明器などが含まれる。論理プログラミング言語は、論理式を用いて事実を表現し、これらの事実から推論を行うよう設計されたものである。例えば、Prologは、述語論理に基づく論理プログラミング言語である。また、計算機科学では、論理学の概念をコンピューティングにおける問題に応用する。クロード・シャノンの業績は、この分野で影響が大きい。シャノンは、ブール論理を用いてコンピュータ回路を分析・実装する方法を考案した。これは、論理ゲート (1個以上の入力と1個の出力を持つ電子回路) で実現される。命題の真理値は、電圧の大きさで表される。これにより、論理関数は、対応する電圧を回路の入力にかけ、出力の電圧を測定して関数の値を得ることでシミュレートすることができる。

形式意味論

形式意味論は、論理学、言語学、言語哲学の分野である。意味論は、言語の意味の研究である。形式意味論は、記号論理学および数学の形式的な方法を用いて、自然言語表現の意味の正確な理論を確立する。形式意味論では、通常、意味を真理条件に関連して理解しようとする。つまり、文が真または偽である状況を研究する。形式意味論の中核をなす仮定は、複合表現の意味がその各部分の意味および組み合わせによって決定されるとする合成性の原理である。この原理では、例えば動詞表現「歩きながら歌う」の意味は、その各部分「歩きながら」および「歌う」によって決定される。形式意味論の理論の多くは、モデル理論を用いる。つまり、集合論を用いてモデルを構築し、そのモデルの要素に関連して表現の意味を解釈する。例えば、名辞「歩く」は、歩行という属性を持つモデル内のすべての要素の集合として解釈される。リチャード・モンタギュー、バーバラ・パルティーは、英語における研究により、この分野で初期の影響力がある論理学者である。

論理学の認識論

論理学の認識論は、論証が妥当であることの知識や、命題が論理的に真であることの知識がどのように得られるかを研究する。これには、モーダスポネンスが妥当な推論規則であることの正当化や、矛盾が偽であることの正当化に関する問題が含まれる。歴史的に優勢であった見解は、この論理的知識の形態は、アプリオリな知識に分類されるというものである。つまり、知性には純粋な概念の関係を検討する特別な能力が備わっており、この能力が論理的真理の理解にもつながっているという見解である。同様の見解に、論理学の規則を言語慣用の観点から理解しようとするものがある。この見解では、論理学の法則は定義上真であり、 自明である (単に論理語彙の意味を表現しているだけである) とされる。

ヒラリー・パトナム、ペネロプ・マディーを含む哲学者は、論理学がアプリオリな知識であることを否定し、論理的真理が経験的な世界に依存すると主張する。合わせて、論理学の法則は、世界の構造的特徴から見出される普遍的な規則性を記述したものであるとも主張されることがある。この見解では、論理学の法則は、基礎科学における一般性のある法則を研究することで得られるとされる。例えば、量子力学で得られた知見は、論理式 $A\land (B\lor C)$

（上の行）西洋哲学の礎を築いたアリストテレス、アリストテレス論理学の代わりとなるイスラーム哲学における論理学を構築したイブン・スィーナー。（下の行）中世の学術思想における重要人物であるオッカムのウィリアム、現代の記号論理学の創始者であるゴットロープ・フレーゲ。

論理学は、古代にそれぞれの文化で独立して確立された。論理学の初期における重要な貢献は、『オルガノン』および『分析論前書』で名辞論理を構築したアリストテレスによるものである。アリストテレスは、仮言三段論法および時相論理を導入した。また、帰納論理学や、名辞、predicable、三段論法、命題などの新たな論理学の概念も導入した。アリストテレス論理学は、古代ギリシャ・ローマ時代および中世において、ヨーロッパ・中東で高く評価され、19世紀前半まで西洋で広く用いられた。アリストテレス論理学は、その後の論理学の発展に取って代えられたが、その知見は現代の論理体系にも含まれている。

関連項目

• 論理記号の一覧 – 論理的関係を表現する記号の一覧
• 批判的思考 – 事実を分析して判断すること
• 論理学者
• ロジックパズル
• 論理的推論 – 正しい推論を導く過程
• ロゴス – 哲学、宗教学、修辞学、心理学の概念

参考文献

文献目録

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外部リンク

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