モンテカルロ法

デジタル大辞泉

モンテカルロ‐ほう〔‐ハフ〕【モンテカルロ法】

読み方：もんてかるろほう

《Monte Carlo method》乱数を用いたシミュレーションを何度も行って、近似的な解を得る数値計算の手法。解析的なアプローチが困難な場合などに用いられる。高い精度の解を得るためには、試行回数を増やす必要がある。モンテカルロシミュレーション。MC法。

M＆A用語集

モンテカルロ法

【英】：Monte Carlo Method

【読み方】：モンテカルロホウ

乱数を用いて膨大なシミュレーションを行うことによって近似解を導出する方法。複雑なオプションで解析式が存在しないタイプのものの価値を算出する際にも用いられる。

関連用語

• オプション

会計用語辞典

モンテカルロ法

読み方：もんてかるろほう

乱数を用いて膨大なシュミレーションを行うことによって近似解を導き出す方法。

複雑なオプションで解析式が存在しないようなタイプのものの価値を算出する際に用いられることもあります。

IT用語辞典バイナリ

モンテカルロ法

読み方：モンテカルロほう
別名：モンテカルロ解析
【英】Monte Carlo method

モンテカルロ法とは、確率論的問題を解析するための手法で、大量の乱数を用いて何度もシミュレーションを行なうことによって近似解を求める計算手法のことである。

モンテカルロ法では、対象となる条件式に、コンピュータで発生させた乱数をあてはめる操作を繰り返すことによって様々な解のサンプルを大量に採取していく。解析的な手法によって解を得ることが困難な問題でも、膨大な量のシミュレーションを繰り返すことによって、解の値に接近してゆくことができる。

モンテカルロ法には、精度の高い近似解を得ようとすればするほど膨大な回数の計算が必要になるという困難があった。コンピュータによって多量の乱数を生成し、多量の演算を短時間で処理し、演算結果の統計まで行ってしまうことによって、非常に効率的な解析を可能とした。

モンテカルロ法は第二次大戦中、コンピューターの父と呼ばれるジョン・フォン・ノイマン（John Luis von Neumann）によって、中性子の物質中を動き回る様子を探るために考案されたといわれている。なお、当初から通称として呼ばれていたモンテカルロの名は、モナコ公国の首都モンテカルロにちなんだものであると言われている。

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モンテカルロ法

【英】：Monte Carlo method

決定論および確率論的問題の処理に無作為な選択を利用する方法で、乱数を用いる数値計算法の総称。入射電子が試料内部で散乱し拡がってゆく過程をシミュレーションするのに用いられる。入射電子線のエネルギーが高いほど広がりは大きくなる。原子番号および密度が大きいほど広がりは小さくなる。特性X線分光における定量分析の際に、原子番号効果を求めるときなどに用いられている。

関連する用語

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モンテカルロ法 Monte Carlo Method

	確率的な現象を利用して各種の数値計算を行い，問題の解や法則性などを得る方法。経済評価における不確定要素を扱うための最も一般的なシミュレーション手法である。
分野	一般掘削用語2
同義語
関連用語
類似語
略語

OR事典

モンテカルロ法

読み方：もんてかるろほう
【英】：Monte Carlo method

概要

乱数を使って実験する方法のこと. 第二次世界大戦中に原爆の開発に関する極秘プロジェクトを示す符丁として, フォンノイマン等がカジノで有名なモンテカルロに因んで命名したとされている.本来は, 確率的な変動を含まない問題を解くのに乱数を利用する方法のことであったが, 現在では乱数を使う実験の総称として使われることが多い.

詳説

　システムの特性値などを推定するために, 適当なモデルと乱数を使って実験し, 大数の法則や中心極限定理などを利用して推測を行う方法のこと. システムに確率的な変動が内在する場合だけでなく, 確定的な問題を解くためにも使われる.

　モンテカルロ法の原理を簡単な例で示そう. 推定したい特性値を とし, これは既知の分布関数 を持つ確率変数 の関数 の平均値に等しいものとすれば,

と書ける. ただし, である. そこで, 区間[0,1]上の一様乱数 を発生し, 算術平均

をの推定値とすることが考えられる. はの不偏推定量であり, 分散は

となる. したがって, 推定量 に含まれる誤差の標準偏差は であり, 精度を十進で1桁上げるためには, サンプル数 を10倍に増やさなければならない. このように, モンテカルロ法の収束は遅いので, これを改善するための方法が種々提案されており, 分散減少法と総称されている. ただし, これらは というオーダーを改善するものではなく, 比例係数を小さくするための工夫である.

［重点サンプリング］

　積分区間から一様にサンプルをとるのではなく, 重要と考えられる部分(の絶対値が大きい部分)により多くの重みをおく密度関数に従う乱数を発生し,

でを推定する. がに比例するように選べれば分散は最小となるので, なるべくそれに近くなるように工夫する.

［制御変量法］

　に対するひとつの不偏推定量をとする. と相関があって平均値が既知の確率変数のことを, の制御変量という. を定数として

と定義すれば, もの不偏推定量となり, その分散はのとき最小となり, 最小値は

である. ここではとの相関係数であるから, と相関の強い制御変量を選ぶほど効果的である.

　定積分の例では, に近い関数で, その積分の値が正確に計算できるものを選び,

に対して単純な一様サンプリングを適用する.

［負相関変量法］

　の不偏推定量と平均値が同じで負の相関を持つ変量を利用して, をの推定量とする. この分散は, に対して2回独立にサンプルをとって平均する場合の分散より小さくなる. 定積分の例では, もしが単調な関数ならば, とするとよい.

［共通乱数法］

　二つの特性値をそれぞれ確率変数に関するモンテカルロ実験によって推定し, 比較したいものとし, とする.

であるから, が大きいほど推定の精度が良くなる. との分布関数をそれぞれとし, とを逆関数法で作るものとする. このとき, と用に別々の一様乱数列を使う代りに, ひとつの乱数列を使って, とすれば, が最大となる. これが共通乱数法の原理である.

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参考文献

[1] 伏見正則, 『確率的方法とシミュレーション』(岩波講座 応用数学), 岩波書店, 1994.

[2] G. S. Fishman, Monte Carlo-Concepts, Algorithms, and Applications, Springer, 1996.

[3] A. M. Law and W. D. Kelton, Simulation Modeling and Analysis, 2nd. ed., McGraw-Hill, 1991.

「OR事典」の他の用語

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ウィキペディア

モンテカルロ法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/02 01:21 UTC 版)

モンテカルロ法（モンテカルロほう、（英: Monte Carlo method、MC）とはシミュレーションや数値計算を乱数を用いて行う手法の総称。元々は、中性子が物質中を動き回る様子を探るためにスタニスワフ・ウラムが考案しジョン・フォン・ノイマンにより命名された手法。カジノで有名な国家モナコ公国の4つの地区（カルティ）の1つであるモンテカルロから名付けられた。ランダム法とも呼ばれる。

計算理論

計算理論の分野において、モンテカルロ法とは誤答する確率の上界が与えられる乱択アルゴリズム（ランダム・アルゴリズム）と定義される^[1]。一例として素数判定問題におけるミラー-ラビン素数判定法がある。このアルゴリズムは与えられた数値が素数の場合は確実に Yes と答えるが、合成数の場合は非常に少ない確率ではあるが No と答えるべきところを Yes と答える場合がある。一般にモンテカルロ法は独立な乱択を用いて繰り返し、実行時間を犠牲にすれば誤答する確率をいくらでも小さくすることができる。またモンテカルロ法の中でも任意の入力に対して最大時間計算量の上界が入力サイズの多項式で与えられるものを効率的モンテカルロ法という^[2]。

なお、これとは対照的に理論上必ずしも終了するとは限らないが、もし答えが得られれば必ず正しい乱択アルゴリズムをラスベガス法と呼ぶ。

計算複雑性理論では、確率的チューリング機械によるモデル化によってモンテカルロ法を用いて解決できる問題のクラスをいくつか定義している。代表的なところでは RPやBPP、PP などがある。これらのクラスと P や NP との関連性を解明していくことによって、モンテカルロ法のようにランダム性を含むアルゴリズムによって解ける問題の範囲が拡大しているのか（P ≠ BPP なのか）、それとも単に決定的アルゴリズムで解ける問題の多項式時間の次数を減らしているだけなのか（P=BPP なのか）は計算複雑性理論における主要課題の1つである。現在、NP ⊂ PP 、RP ⊆ NPであることはわかっているが BPP と NPとの関係はわかっていない。

準モンテカルロ法

一様乱数ではなく、超一様分布列（英語版）を使用する方法を準モンテカルロ法（英語版）という^[3]。たとえばモンテカルロ数値積分法で、乱数の代わりに準乱数を用いれば収束の加速が期待できる。ただし、分布の一様性の高い数列としての準乱数は、モンテカルロ数値積分には適切であっても、それ以外の用途に用いた場合には、本来の答えと異なる結果を生じる可能性がある。

以下は超一様分布列の例である。

• ファンデルコルプト数列^[4]
• ハルトン列（英語版）^[5]
• ソボル列（英語版）^[6]
• ニーダーライター列^[7]
• ファウレ列^[8]

数値積分

モンテカルロ法を円周率πの値の近似に適用した例。30,000点をランダムに置いたとき、πの推定量は実際の値から0.07%以下の誤差の範囲内にあった。

数値解析の分野においてはモンテカルロ法はよく確率を近似的に求める手法として使われる。n 回シミュレーションを行い、ある事象が m 回起これば、その事象の起こる確率は当然ながら m/n で近似される。試行回数が少なければ近似は荒く、試行回数が多ければよい近似となる。

また、この確率を利用すれば、積分（面積）の近似解を求めることが可能となる。領域 R の面積 S は、領域 R を含む面積 T の領域内でランダムに点を打ち、領域 R の中に入る確率 p をモンテカルロ法で求めれば、S = pT で近似される。

n 重積分

${\displaystyle I=\int _{0}^{1}\dotsi \int _{0}^{1}f(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})dx_{1}\dotsm dx_{n}}$

出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。 記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2015年10月）

• P.J. Davis and P.Rabinowitz、森正武（訳）：「計算機による数値積分法」、日本コンピュータ協会（1981年2月15日）。
• Motwani, Rajeev; Raghavan, Prabhakar (1995). Randomized algorithms. Cambridge University Press. ISBN 0-521-47465-5. MR1344451. Zbl 0849.68039. https://books.google.co.jp/books?id=QKVY4mDivBEC 
• Jan van Leeuwen 編、「コンピュータ基礎理論ハンドブックⅠ：アルゴリズムと複雑さ」、廣瀬 健、野崎昭弘、小林孝次郎 監訳、丸善、1994年、ISBN 4-621-03921-0
• 電気学会 GA・ニューロを用いた学習法とその応用調査専門委員会 編、『学習とそのアルゴリズム』、森北出版、2002年、ISBN 4-627-82751-2
• 杉原・室田：「数値計算法の数理」、岩波書店 2003年、ISBN 978-4-00-005518-5
• 伏見正則 ・逆瀬川浩孝（監訳)：「モンテカルロ法ハンドブック」、朝倉出版、ISBN 978-4-254-28005-0（2014年8月25日）。原著はDirk P.Kroese, Thomas Taimre, Zdravko I.Botev：Handbook of Monte Carlo Methods, John Wiley & Sons, Inc.，ISBN 978-0-47017793-8（2011年1月28日）。
• 鈴木航介、合田隆「準モンテカルロ法の最前線」『日本応用数理学会論文誌』第30巻第4号、日本応用数理学会、2020年、320-374頁、doi:10.11540/jsiamt.30.4_320、ISSN 2424-0982。 
• Müller, Fabio; Christiansen, Henrik; Schnabel, Stefan; Janke, Wolfhard (2023-07). “Fast, Hierarchical, and Adaptive Algorithm for Metropolis Monte Carlo Simulations of Long-Range Interacting Systems”. Phys. Rev. X (American Physical Society) 13 (3): 031006. doi:10.1103/PhysRevX.13.031006. https://doi.org/10.1103/PhysRevX.13.031006. 
• K.K. Sabelfeld: Monte Carlo Methods: In Boundary Value Problems, Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-75979-6 (1991).
• 鈴木航介、合田隆：「重点解説 モンテカルロ法と準モンテカルロ法」、サイエンス社（SGC 197）、ISBN 978-4-7819-1623-1 (2025年1月25日)。

関連項目

ウィキメディア・コモンズには、モンテカルロ法に関連するカテゴリがあります。

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• 数値積分
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• 計算物理学
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• 乱択アルゴリズム - ラスベガス法
• 逐次モンテカルロ法
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• レイトレーシング - レンダリング方程式を解く際に解法としてモンテカルロ法が使われる

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