第24問題とは? わかりやすく解説

第24問題

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/04/30 16:25 UTC 版)

ヒルベルトの23の問題」の記事における「第24問題」の解説

詳細は「ヒルベルトの第24問題(英語版)」を参照 彼は元々24題の問題用意していたが、その内の1題は割愛された。この24番目の問題簡潔性総合的な方法評価基準に関する証明論)は2000年ドイツの歴史学者リュディガー・ティーレ(ドイツ語版)によって発見されヒルベルトの手中に、その存在初め確認された。 問題問題問題原文概要状況解決年第1 連続体基数に関するカントール問題 Cantor's problem of the cardinal number of the continuum 連続体仮説のこと 部分的解決 ゲーデル(1940)とコーエン(1963)により連続体仮説ZFCとの独立性示されたが、これにより問題解決されたとするに関するコンセンサスはない。 1940, 1963 第2(英語版算術公理間の整合性 The compatibility of the arithmetical axioms 算術公理系の各公理独立性、および公理系無矛盾性を示すことができるか 部分的解決 無矛盾性に関してゲーデル(1931)の第二不完全性定理ゲンツェン(1936)によるε0整列可能性仮定した算術無矛盾性証明があるが、これらにより問題解決されたとするに関するコンセンサスがない 1931, 1936 第3 等底・等高な2つ四面体の等積性 The equality of the volumes of two tetrahedra of equal bases and equal altitudes 同じ底面積・同じ高さを持つ2つ四面体体積等しいことを積分使わずに、これらの四面体切断することで合同多面体の組ができるか否かのみで決定することが決定できるか。 否定的解決 デーンデーン不変量英語版)を定義して解決1900 第4(英語版2点間の最小距離としての直線に関する問題 Problem of the straight line as the shortest distance between two points 解決か否か決めるには 問題曖昧 ヒルベルト問題発表時、自身研究により既に問題あるよう幾何学得ており、その上で問題発表となった。この問題1901年にゲオルク・ハメル(英語版)によって解かれたが多く制約余儀なくされた証明法だったので、1929年ヒルベルト弟子パウル・フンク(英語版)がこれを改善したものを発表した。また1943年にはハーバート・ビュースマン(英語版)も改善成功し問題測地線幾何学一般化した。しかしRowe & Grayはこの第4問題解決されたかどうかはとても曖昧であると記している。 — 第5(英語版群演算可微分性仮定しない連続変換群に関するリー概念 Lie's concept of a continuous group of transformations without the assumption of the differentiability of the functions defining the group 位相群リー群となるための条件 部分的解決 問題の意味解釈によってはAndrew M. Gleasonにより解決問題ヒルベルトスミス予想英語版)の事だとすると未解決である。 1953? 第6(英語版物理学諸公理の数学的扱い Mathematical treatment of the axioms of physics 部分的解決 1933–2002? 第7(英語版種々の数の無理性超越性 Irrationality and transcendence of certain numbers 以下の2つ同値問題を問うたもの二等辺三角形において、底辺両端2つの同じ大きさの角と、それ以外1つの角との比が有理数でないとき、底辺斜辺長さの比は超越数か? a ∉ { 0 , 1 } {\displaystyle a\not \in \{0,1\}} と無理数 b {\displaystyle b} に対し a b {\displaystyle a^{b}} は常に超越数か? 解決 ゲルフォント=シュナイダーの定理により解決。この定理はアレクサンダー・ゲルフォント (en)(1934年) とテオドール・シュナイダー (en)(1935年) によって、それぞれ独立証明された。 1934 第8(英語版素数に関する問題 Problems of prime numbers リーマン予想 未解決 — 第9(英語版任意の数体における最も一般的な相互法則の証明 Proof of the most general law of reciprocity in any number field 一般相互法則 解決 エミール・アルティン代数体アーベル拡大に対してアルティン相互法則証明したことにより解かれた(1927年) 。関数に対してはShafarevichが同様の成果示している。 1927 第10英語版ディオファントス方程式可解性の決定問題 Determination of the solvability of a diophantine equation 否定的解決 ユーリ・マチャセビッチ否定的に解決したディオファントス方程式に解があるか否か有限時間決定可能アルゴリズム存在しない。マチャセビッチの定理説明するため、以下のように定義する整数の組の集合 M {\displaystyle {\mathfrak {M}}} がディオファントスであるとは、ある整数係数多項式 P ( a , x 1 , … , x n ) {\displaystyle P(a,x_{1},\ldots ,x_{n})} が存在し、 M = { a ∈ Z ∣ ∃ ( x 1 , … , x n ) ∈ Z n   :   P ( a , x 1 , … , x n ) = 0 } {\displaystyle {\mathfrak {M}}=\{a\in \mathbb {Z} \mid \exists (x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {Z} ^{n}~:~P(a,x_{1},\ldots ,x_{n})=0\}} となることを指す。マチャセビッチの定理整数の組の集合 M {\displaystyle {\mathfrak {M}}} がディオファントスである必要十分条件は M {\displaystyle {\mathfrak {M}}} が帰納列挙可能な整数の組の集合である、というものである。これはすなわち、与えられたPに対し、 P ( a , x 1 , … , x n ) = 0 {\displaystyle P(a,x_{1},\ldots ,x_{n})=0} が解を持つa(そのようなaは無限個あるかもしれない)を順に出力するアルゴリズムが必ず存在することを意味するので、解を持つaに対しては解を持つことを有限時間決定可能であるが、逆に解を持たないaに対しては解がないことを有限時間では決定できない場合もあることを意味する。よってディオファントス方程式に解があるか否か有限時間決定可能アルゴリズム存在しない197011英語版任意の代数的数係数とする二次形式 Quadratic forms with any algebraic numerical coefficients 代数体上の二次形式分類 部分的解決 — 第12 アーベル体に対すクロネッカーの定理代数的有理数への拡張 Extension of Kronecker's theorem on abelian fields to any algebraic realm of rationality 類体の構成問題 未解決 — 第13英語版任意の7次方程式を2変数関数だけで解くことの不可能性 Impossibility of the solution of the general equation of the 7th degree by means of functions of only two arguments 部分的解決 — 第14英語版不変式系の有限性の証明 Proof of the finiteness of certain complete systems of functions 否定的解決 1958年永田雅宜反例作り否定的に解決した195915英語版シューベルト数え上げ計算厳密な基礎づけ Rigorous foundation of Schubert's enumerative calculus 部分的解決 — 第16英語版代数曲線および曲面位相問題 Problem of the topology of algebraic curves and surfaces 未解決 — 第17英語版定符号の式を完全平方式使った分数式表現すること Expression of definite forms by squares 解決 1927 第18英語版合同多面体による空間構築 Building up of space from congruent polyhedra 結晶群・敷きつめ・最密充填球充填)・接吻数問題 解決 1928 (a) 1928(b) 199819英語版正則変分問題の解は常に解析的か Are the solutions of regular problems in the calculus of variations always necessarily analytic? 解決 1904年セルゲイ・ベルンシュテイン解決した。 1957 第20英語版一般境界値問題 The general problem of boundary values 解決 ? 第21英語版与えられモノドロミー群をもつ線型微分方程式存在証明 Proof of the existence of linear differential equations having a prescribed monodromic group 否定的解決 リーマン・ヒルベルト問題とも呼ばれるフレドホルム積分方程式に関するヒルベルト研究応用して1908年にヨシップ・プレメルヒ(英語版)が積分方程式問題に再定式化して、肯定的に解決した1913年ジョージ・デビット・バーコフがリーマン・ヒルベルト問題とは気づかずに別証明与えた。だが、1989年にドミトリー・アノゾフ(英語版)とアンドレイ・ボリブルヒ(英語版)が正則であるがフックス型でない微分方程式系があることを示して、プレメルヒとバーコフの証明誤り明らかにし、リーマン・ヒルベルト問題否定的に解決されることを証明したモノドロミー表現既約である場合にだけ、リーマン・ヒルベルト問題肯定的に解決される。 ? 第22英語版保型関数による解析関数一意Uniformization of analytic relations by means of automorphic functions 部分的解決 パウル・ケーベアンリ・ポアンカレそれぞれ独立肯定的に解決した一意化定理1880年代からポアンカレ研究し、その一部証明していたが、ヒルベルト23問題一つとして取り上げて、その厳密な証明求めた。 ? 第23英語版変分法研究の展開 Further development of the methods of the calculus of variations 未解決 この分野でのカール・ワイエルシュトラスクネーザーアンリ・ポアンカレ貢献評価して変分法重要性研究課題指摘することで、ヒルベルトその後関数解析偏微分方程式論発展促した変分法数学物理学深く関連した研究分野である。ヒルベルトクーラントとの共著数理物理学方法』で変分法広範に論じた。 — (第24英語版)) 簡潔性総合的な方法評価基準に関する証明論 解決か否か決めるには 問題曖昧

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