Kronecker's theoremとは? わかりやすく解説

Weblio 辞書 > 辞書・百科事典 > 百科事典 > Kronecker's theoremの意味・解説 

クロネッカーの定理

(Kronecker's theorem から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/07/23 05:49 UTC 版)

ナビゲーションに移動 検索に移動

数学では、クロネッカーの定理(Kronecker's theorem)は、レオポルト・クロネッカーの名前に因んだ 2つの定理である。

拡大体の存在

この定理は、ある F の元を係数に持つ定数ではない多項式 p(x) ∈ F[x] が、拡大体 に根を持つことを主張する[1]

たとえば、x2 + 1 = 0 のような実数係数の多項式は、複素数である 2つの根を持つ。

クロネッカーは元々有理数以外の数の存在を認めていなかったものの、この定理は普通クロネッカーの業績とされている[2]。また、この定理によって多くの集合に対する有用な構成英語版(construction)が与えられる。

ディオファントス近似での結果

クロネッカーの定理は、ディオファントス近似を 1 ≤ iN とした複数の実数 xi へ適用した結果としても表現され、これはディリクレの近似定理を多変数へと一般化した定理である。

古典的なクロネッカーの近似定理は、次のように定式化される。実数 が与えられると、すべての小さな に対し、整数 が存在し、

,

が成り立つことと、

であるすべての に対し、数 が再び整数となることとは同値である。

クロネッカーの近似定理は、19世紀の終わりにレオポルト・クロネッカーにより最初に証明された。20世紀後半以降、n次元トーラスマーラー測度の考え方と関係していることが明らかとなっている。 力学系の言葉では、クロネッカーの定理は、惑星の周期に(互いの間の引力相互作用による)依存関係が存在しないとすれば、恒星の周りを円軌道を描いて回る惑星は、時間を経てすべてが整列することを意味する。

n次元トーラスとの関係

N を自然数として、トーラス T

T = RN/ZN

と定義すると、トーラス上の点 P により生成される部分群 <P> の閉包は有限群か、あるいは、T の中に含まれるあるトーラス T′ である。元々のクロネッカーの定理 (クロネッカー, 1884) の主張は、

T′ = T,

のための必要条件は、数 xi と 1 が有理数体上で線型独立であることであり、これは同時に十分条件でもあるというものである。ここで、xi と 1 の非ゼロな有理数係数での線型結合 が 0 であるならば、係数は整数にとることができ、群 T自明指標英語版(trivial character)以外の指標 χ が P 上で値 1 をとることが容易に分かる。ポントリャーギン双対性により、T′ を χ のの部分集合とすることができ、故に T 全体には等しくない。

実際、ここでポントリャーギン双対性を完全に使うと、クロネッカーの定理の全体は、

χ(P) = 1

となる χ の核の交叉として、<P> の閉包を記述するものとなる。

このことは、T単元生成な英語版(monogenic)な閉部分群の間の(単調なガロア接続と(位相的な意味で、単一の生成子を持つ)、与えられた点を含む核を持つ指標の集合を与える。すべての閉部分群が単調生成であるわけではない。たとえば、単位元の連結成分が次元 ≥ 1 のトーラスを持ち、連結でない閉部分集合はそのような部分集合ではありえない。

定理において、どのようにうまく(統一的に)P の多重化 mP が閉包を満たすかは、未解決である。1次元の場合、分布は等分布定理英語版(equidistribution theorem)により一様である。

参照項目

  • ワイルの判定条件英語版(Weyl's criterion)

参考文献

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Kronecker's theorem”, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/k/k055910.htm 

  1. ^ Applied Abstract Algebra by D. Joyner, R. Kreminski and J. Turisco.
  2. ^ Allenby, R. B. J. T. (1983). Rings, fields and groups: an introduction to abstract algebra. London: E. Arnold. pp. 140,141. ISBN 0-7131-3476-3 



英和和英テキスト翻訳>> Weblio翻訳
英語⇒日本語日本語⇒英語
  

辞書ショートカット

すべての辞書の索引

「Kronecker's theorem」の関連用語

Kronecker's theoremのお隣キーワード
検索ランキング

   

英語⇒日本語
日本語⇒英語
   



Kronecker's theoremのページの著作権
Weblio 辞書 情報提供元は 参加元一覧 にて確認できます。

   
ウィキペディアウィキペディア
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License.
この記事は、ウィキペディアのクロネッカーの定理 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。 Weblio辞書に掲載されているウィキペディアの記事も、全てGNU Free Documentation Licenseの元に提供されております。

©2025 GRAS Group, Inc.RSS