算術とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/18 09:51 UTC 版)

「IEEE 754における負のゼロ」の記事における「算術」の解説

標準において、その計算は正と負の無限大を含む拡大実数を対象としており、1/−0 = −∞ および 1/+0 = +∞ となるような2つのゼロが存在する。すなわちこの場合に限っては0をある種の無限小のように扱っている。標準では一般に任意の非ゼロ数のゼロ除算は、正負どちらかの無限大になり、ゼロのゼロ除算は NaN になる。 それ以外の乗除算は通常の符号の組み合わせと同じように扱われる。 − 0 | x | = − 0 {\displaystyle {\frac {-0}{\left|x\right|}}=-0\,\!} （ x {\displaystyle x} は0以外） ( − 0 ) ⋅ ( − 0 ) = + 0 {\displaystyle (-0)\cdot (-0)=+0\,\!} | x | ⋅ ( − 0 ) = − 0 {\displaystyle \left|x\right|\cdot (-0)=-0\,\!} 加減算は値が相殺される場合特別に扱われる。 x + ( ± 0 ) = x {\displaystyle x+(\pm 0)=x\,\!} ( − 0 ) + ( − 0 ) = ( − 0 ) − ( + 0 ) = − 0 {\displaystyle (-0)+(-0)=(-0)-(+0)=-0\,\!} ( + 0 ) + ( + 0 ) = ( + 0 ) − ( − 0 ) = + 0 {\displaystyle (+0)+(+0)=(+0)-(-0)=+0\,\!} x − x = x + ( − x ) = + 0 {\displaystyle x-x=x+(-x)=+0\,\!} （任意の有限の x {\displaystyle x} について、負方向への丸めの場合は −0） 負のゼロが存在するため、浮動小数点数の変数 x、y、z を使った式 z = -(x - y) や z = (-x) - (-y) を z = y - x と最適化することはできない。 他に次のような特別規則がある。 − 0 = − 0 {\displaystyle {\sqrt {-0}}=-0\,\!} − 0 − ∞ = + 0 {\displaystyle {\frac {-0}{-\infty }}=+0\,\!} （除算の符号規則に従う） | x | − 0 = − ∞ {\displaystyle {\frac {\left|x\right|}{-0}}=-\infty \,\!} （ x {\displaystyle x} がゼロでない場合、除算の符号規則に従う） ± 0 × ± ∞ = NaN {\displaystyle {\pm 0}\times {\pm \infty }={\mbox{NaN}}\,\!} （NaNまたは割り込み発生） ± 0 ± 0 = NaN {\displaystyle {\frac {\pm 0}{\pm 0}}={\mbox{NaN}}\,\!}

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「バースカラ2世」の記事における「算術」の解説

バースカラ2世の算術についての著書『リーラーヴァティ』は、定義、算術用語、利子計算、算術級数と幾何級数、平面幾何学、立体幾何学、日時計の影、不変方程式の解法、組合せなどを扱っている。 『リーラーヴァティ』は13章からなり、算術だけでなく代数学や幾何学も扱い、一部は三角法や求積法を扱っている。具体的には、次のような内容がある。 定義 ゼロの性質（除法を含むゼロの演算規則） その他の数に関すること。負数や無理数（冪根）を含む。 円周率の近似値。 算術。乗法や平方など。 逆三数法 (inverse rule of three)。3だけでなく、5, 7, 9, 11 に拡張。 利子計算に関する問題。 算術級数と幾何級数。 平面の幾何学。 立体の幾何学。 組合せ数学（順列と組合せ）。 線型および二次の不定方程式の整数解の求め方（クッタカ）。これについては、17世紀ルネサンス期のヨーロッパの数学者と同じ解法を示しており、非常に重要である。バースカラ2世の解法は、アリヤバータなど先人の成果に基づくものだった。 彼の著書は体系化、解法の改善、新たな問題の導入などの点が優れている。さらに『リーラーヴァティ』には素晴らしい例題もあり、バースカラ2世は『リーラーヴァティ』で学ぶ学生にその内容を具体的に役立てて欲しいと意図していたとも思われる。

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「ファイナルファンタジーシリーズの魔法形態」の記事における「算術」の解説

『FFT』に登場するカテゴリ。算術士の特殊なコマンドで、今まで修得してきた魔法をもとに、算術をもってMPを消費すること無しに使用することができる。ただし、対象や範囲を自分で決めることができず、算術の対象になる数字（3・4・5・素数）とサンプル（レベル・経験値下2桁・フィールドの高度など）を設定できるのみである。しかし敵味方のステータスしだいでは敵全体にレベルnデス（nは対象数字）をかけることができるといった具合に、バランスブレイカーとなり得る。

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「等式」の記事における「算術」の解説

初等・中等教育においては、上記３つの公理を「等式の性質」としてとらえ 反射性・対称性・推移性に、斉一性を加えた４つの性質を用いて、等式の操作を行う。 斉一性とは、四則演算について、a, b, c を勝手な定数として、a = b であるならば、等式 a + c = b + c, a − c = b − c, ac = bc, a/c = b/c が辺々がともに定義可能である限りにおいて成り立つことをいう。 これはP(x) = {x ± c=a ± c},P(x) = { xc=ac}, P(x)={x/c=a/c} なる命題関数によって代入原理から導かれる。これらを総称して、等式変形と呼ぶ。 a = b ± c となることは複号同順で a −(± c) = b となることに同値であることが従う。 これは見かけ上、一方の辺における一部の項を、符号を変えて他方の辺に移す操作に見えることから、この等価な 2 式の一方を他方に入れ替えることを移項（いこう、transpose）と呼ぶ。

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「チェスターのロバート」の記事における「算術(数学)」の解説

ボイヤーの説では正弦をsinus rectus と意訳し（sinusはラテン語で「湾」のこと）、これが現在のサイン(sine)になったという。 アル・フワーリズミーの著書『約分と消約との学』（ilm al-jabr wa'l muqabalah）820年をラテン語に訳し『Liber algebrae et almucabola』を著した（あるいはバースのアデラードの功績ともいう）。Al-jabrに由来する「algebra」は今日英語で代数学を意味する語となっている。 またアル・フワーリズミーの別の著作『インドの数の計算法』（Kitāb al-Jām'a wa'l-Tafrīq bi'l-Hisāb al-Hindī）825年の翻訳『Algoritmi de numero Indorum』は、直訳すれば「インドの数に関して、アル・フワーリズミー」という意味の書名であったが、通称Algoritmiとして、それから500年にわたってヨーロッパの各国の大学で数学の主要な教科書として用いられた。計算の手順を意味するアルゴリズム（Algorithm）やオーグリム（augrim）という言葉はこの書の冒頭Algoritmi dicti（アル・フワーリズミーに曰く）に由来する。

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「エジプト数学」の記事における「算術」の解説

「エジプト式分数」も参照 現存する資料には､単位分数の計算が非常に多い。これは､経済活動が現物で行われるため､配分のための計算が多用されたためと考えられている。食糧の分配､土地の分割､製造のための配合､報酬の現物支給などに使われた。エジプト数学の分数の特徴として､3分の1を計算するには､まず3分の2の値を出してから半分にするという操作がある。また、3分の2の他には分子が2以上になる分数を示す記号が存在しないため､すべて単位分数の和に分解して表現された。このため､単位分数を組み合わせるための速算表が使われ､アーメス・パピルスにも表が書かれている。

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「バビロニア数学」の記事における「算術」の解説

基数が60で位取り方式があったため計算が容易になり、特に分数計算が簡便となった。計算を簡潔にするために、逆数、平方、立法、乗法などを数表にした。乗算表には、2から20、そして30、40、50の掛け算が載っていた。逆数表には、81までの整数では2、3、5の倍数のみ掲載することが多く、60の因数ではない素数（7、11等）の逆数は除外された。表をよく用いた点では、エジプト数学とも共通点がある。また、紀元前2700年から2300年以降には、計算にアバカスが用いられた記録がある。 算術を使った記録としては、遺産相続、家畜の管理、土地の面積、度量衡などがある。また、紀元前25世紀頃のラガシュの王であるエンメテナの回顧碑文には、世界最古の複利計算の記録がある。

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