算術で閉じていること

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算術で閉じていること

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/15 10:26 UTC 版)

「超現実数」の記事における「算術で閉じていること」の解説

各自然数（有限順序数）n に対し、Sn において生成されたすべての数が二進分数（英語版）（すなわち、既約分数に書いたとき適当な整数 a, b (0 ≤ b < n) を用いて a⁄2b の形に書ける有理数）である。 有限な n に対する適当な Sn において生成される超現実数全体の成す集合を S ∗ := ⋃ n ∈ N S n {\textstyle S_{*}:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }S_{n}} と書くことにする。三種類の異なる形、 S 0 := { 0 } , {\textstyle S_{0}:=\{0\},} S + := { x ∈ S ∗ : x > 0 } , {\textstyle S_{+}:=\{x\in S_{*}:x>0\},} S − := { x ∈ S ∗ : x < 0 } {\textstyle S_{-}:=\{x\in S_{*}:x<0\}} に分類すれば、S∗ はこれらの合併である。個々の Sn は（S0 以外は）加法および乗法について閉じていないが、S∗ は閉じている（これは二進分数全体の成す有理数体の部分環である）。 適当な無限順序数 β が存在して、誕生日が β より小さい超現実数全体の成す集合が別の算術演算で閉じているようにすることができる。任意の順序数 α に対し、誕生日が β := ωα（ω の冪節を参照）より小さい超現実数全体の成す集合は加法のもとで閉じていて、群を成す。ωωα より小さい誕生日に対しては、乗法のついても閉じており、環を成す。また誕生日が（順序）イプシロン数（英語版） εα より小さいとすれば乗法逆元をとる操作でも閉じていて、体を成す。この最後の集合は Kruskal および Gonshor によって定義された指数函数のもとでも閉じている(ch. 10)。 しかし、与えられた集合の任意の元より大きな超現実数を構成することは（構成子の左集合にその集合を含めることにより）常に可能であり、したがって超現実数全てからなる集まりは真のクラスとなる。このクラスは（それが集合でないという但し書きの上で）その大小比較を定める順序関係とこれら算術の四則に関して順序体を成す。実はこれは、最も大きな順序体という非常に特別なものになっている（ほかの任意の順序体は、超現実数体に演算と順序まで込めて埋め込める）。超現実数全体の成すクラスは 𝐍𝐨 で表される。