加法および乗法

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加法および乗法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/15 10:26 UTC 版)

「超現実数」の記事における「加法および乗法」の解説

二つの超現実数 x, y に対しその和 x + y は、dom(x) および dom(y) に関する帰納法により、x + y := σ(L, R) で定義される。ただし L := {u + y : u ∈ L(x)}∪{x + v : v ∈ L(y)}, R := {u + y : u ∈ R(x)}∪{x + v : v ∈ R(y)}. 加法単位元は 0 := {} で与えられる（つまり、超現実数 0 は定義域が順序数の 0 である唯一の函数である）。また、超現実数 x の加法逆元は dom(−x) := dom(x) かつ α ∈ dom(x) に対して ( − x ) ( α ) := { − 1 ( x ( α ) = + 1 ) + 1 ( x ( α ) = − 1 ) {\textstyle (-x)(\alpha ):={\begin{cases}-1&(x(\alpha )=+1)\\+1&(x(\alpha )=-1)\end{cases}}} で与えられる超現実数 −x である。 これにより、超現実数 x が正であるための必要十分条件は、0 ∈ dom(x) かつ x(0) = +1 となることであり、同様に x が負であるための必要十分条件は 0 ∈ dom(x) かつ x(0) = −1 となることであるとわかる。 二つの超現実数 x, y の積 xy は、dom(x) および dom(y) に関する帰納法により、xy := σ(L, R) で定義される。ただし L := {uy + xv − uv : u ∈ L(x), v ∈ L(y)}∪{uy + xv − uv : u ∈ R(x), v ∈ R(y)}, R := {uy + xv − uv : u ∈ L(x), v ∈ R(y)}∪{uy + xv − uv : u ∈ R(x), v ∈ L(y)}. 乗法単位元は 1 := {(0, +1)} で与えられる（つまり、超現実数 1 は定義域が順序数の 1 で 1(0) = +1 を満たす函数を言う）。