演算規則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/03 06:03 UTC 版)
「クロネッカーのデルタ」の記事における「演算規則」の解説
反対称化を一般化されたクロネッカーのデルタを使って定義すると 1 p ! ∑ ν 1 , … , ν p = 1 n δ ν 1 ⋯ ν p μ 1 ⋯ μ p a ν 1 ⋯ ν p = a [ μ 1 ⋯ μ p ] 1 p ! ∑ μ 1 , … , μ p = 1 n δ ν 1 ⋯ ν p μ 1 ⋯ μ p a μ 1 ⋯ μ p = a [ ν 1 ⋯ ν p ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\sum _{\nu _{1},\dots ,\nu _{p}=1}^{n}\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{p}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}a^{\nu _{1}\cdots \nu _{p}}&=a^{\lbrack \mu _{1}\cdots \mu _{p}\rbrack }\\{\frac {1}{p!}}\sum _{\mu _{1},\dots ,\mu _{p}=1}^{n}\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{p}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}a_{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}&=a_{\lbrack \nu _{1}\cdots \nu _{p}\rbrack }\end{aligned}}} となる。 これより、以下の演算規則が導かれる。 ∑ 1 ≤ ν 1 < ⋯ < ν p ≤ n δ ν 1 ⋯ ν p μ 1 ⋯ μ p a [ ν 1 ⋯ ν p ] = a [ μ 1 ⋯ μ p ] ∑ 1 ≤ μ 1 < ⋯ < μ p ≤ n δ ν 1 ⋯ ν p μ 1 ⋯ μ p a [ μ 1 ⋯ μ p ] = a [ ν 1 ⋯ ν p ] ∑ 1 ≤ ν 1 < ⋯ < ν p ≤ n δ ν 1 ⋯ ν p μ 1 ⋯ μ p δ ρ 1 ⋯ ρ p ν 1 ⋯ ν p = δ ρ 1 ⋯ ρ p μ 1 ⋯ μ p {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{1\leq \nu _{1}<\dots <\nu _{p}\leq n}\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{p}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}a^{\lbrack \nu _{1}\cdots \nu _{p}\rbrack }&=a^{\lbrack \mu _{1}\cdots \mu _{p}\rbrack }\\\sum _{1\leq \mu _{1}<\dots <\mu _{p}\leq n}\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{p}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}a_{\lbrack \mu _{1}\cdots \mu _{p}\rbrack }&=a_{\lbrack \nu _{1}\cdots \nu _{p}\rbrack }\\\sum _{1\leq \nu _{1}<\dots <\nu _{p}\leq n}\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{p}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}\delta _{\rho _{1}\cdots \rho _{p}}^{\nu _{1}\cdots \nu _{p}}&=\delta _{\rho _{1}\cdots \rho _{p}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}\end{aligned}}} これらは#性質の節の内容の一般化であり、3番目の式はコーシー・ビネの公式に対応する。 添字の縮約については 0≤m<k≤n として、 ∑ ρ m + 1 = 1 n ⋯ ∑ ρ k = 1 n δ ν 1 ⋯ ν m ρ m + 1 ⋯ ρ k μ 1 ⋯ μ m ρ m + 1 ⋯ ρ k = ( n − m ) ! ( n − k ) ! δ ν 1 ⋯ ν m μ 1 ⋯ μ m {\displaystyle \sum _{\rho _{m+1}=1}^{n}\cdots \sum _{\rho _{k}=1}^{n}\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{m}~\rho _{m+1}\cdots \rho _{k}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{m}~\rho _{m+1}\cdots \rho _{k}}\,={\frac {(n-m)!}{(n-k)!}}\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{m}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{m}}} あるいは ∑ 1 ≤ ρ m + 1 < ⋯ < ρ k ≤ n δ ν 1 ⋯ ν m ρ m + 1 ⋯ ρ k μ 1 ⋯ μ m ρ m + 1 ⋯ ρ k = ( n − m k − m ) δ ν 1 ⋯ ν m μ 1 ⋯ μ m {\displaystyle \sum _{1\leq \rho _{m+1}<\dots <\rho _{k}\leq n}\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{m}~\rho _{m+1}\cdots \rho _{k}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{m}~\rho _{m+1}\cdots \rho _{k}}\,={\begin{pmatrix}n-m\\k-m\end{pmatrix}}\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{m}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{m}}} が成立する。 特に k=n のとき、 ∑ 1 ≤ ρ m + 1 < ⋯ < ρ n ≤ n δ ν 1 ⋯ ν m ρ m + 1 ⋯ ρ n μ 1 ⋯ μ m ρ m + 1 ⋯ ρ n = δ ν 1 ⋯ ν m μ 1 ⋯ μ m {\displaystyle \sum _{1\leq \rho _{m+1}<\cdots <\rho _{n}\leq n}\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{m}~\rho _{m+1}\cdots \rho _{n}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{m}~\rho _{m+1}\cdots \rho _{n}}\,=\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{m}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{m}}} あるいは ∑ 1 ≤ ρ m + 1 < ⋯ < ρ n ≤ n ε μ 1 ⋯ μ m ρ m + 1 ⋯ ρ n ε ν 1 ⋯ ν m ρ m + 1 ⋯ ρ n = δ ν 1 ⋯ ν m μ 1 ⋯ μ m {\displaystyle \sum _{1\leq \rho _{m+1}<\cdots <\rho _{n}\leq n}\varepsilon ^{\mu _{1}\cdots \mu _{m}~\rho _{m+1}\cdots \rho _{n}}~\varepsilon _{\nu _{1}\cdots \nu _{m}~\rho _{m+1}\cdots \rho _{n}}\,=\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{m}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{m}}} ∑ ρ m + 1 , … , ρ n = 1 n ε μ 1 ⋯ μ m ρ m + 1 ⋯ ρ n ε ν 1 ⋯ ν m ρ m + 1 ⋯ ρ n = ( n − m ) ! δ ν 1 ⋯ ν m μ 1 ⋯ μ m {\displaystyle \sum _{\rho _{m+1},\dots ,\rho _{n}=1}^{n}\varepsilon ^{\mu _{1}\cdots \mu _{m}~\rho _{m+1}\cdots \rho _{n}}~\varepsilon _{\nu _{1}\cdots \nu _{m}~\rho _{m+1}\cdots \rho _{n}}\,=(n-m)!~\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{m}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{m}}} が成立する。
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