行列 行列の演算

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行列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/16 13:37 UTC 版)

行列の演算

基本演算

加法

二つの行列は、それが同じ型を持つならば互いに加えることができ、この算法を行列の加法、演算の結果を和と言う。異なる型の行列に対しては和は定義されない。つまり、m 行 n 列の行列同士の和を、成分ごとの和

$A+B:=[a_{ij}+b_{ij}]_{i=1,\ldots ,m, \atop j=1,\ldots ,n}$

行列の積の模式図

行列の積を初めて定義したのはケイリーである。行列の積は狭い意味での二項演算（即ち、台とする集合 X に対して X × X → X なる写像を定めるもの）ではない。l × m 行列 A と m × n 行列 B の積は l × n 行列となり、C = A B の (i, j) 成分 c_{i j} は、

$c_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}$

で与えられる。

例えば、

${\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\cdot 1+6\cdot 3&5\cdot 2+6\cdot 4\\7\cdot 1+8\cdot 3&7\cdot 2+8\cdot 4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}23&34\\31&46\end{bmatrix}}$

である。

行列の積は可換でない

即ち一般には

$B\cdot A\neq A\cdot B$

となることが両辺が定義される場合 (l = n) であっても起こり得る。さらに m = n(= l) のとき、つまり両辺が正方行列同士の積であれば両辺とも定義されるが、その場合でも一般には両者は異なる。

行列の積は結合的である

即ち、乗法が定義される限りにおいて

$(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$

が成り立つ。

行列の乗法は加法の上に分配的である

即ち、各項における加法と乗法が定義される限りにおいて

$(A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$

および

$A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C$

が成り立つ。

正方行列に関して行列の乗法は特別な役割を持つ。環 R 上の正方行列全体 R^n×n は行列の加法と乗法に関して、ふたたび環を成すのである。環 R が単位的（つまり単位元 1 を持つ）ならば、単位行列

$E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\end{bmatrix}}$

は行列の積に関する単位元となり、環 R^n×n もまた単位的となる。しかし、n > 1 のとき、この環は（基礎環 R が可換環であっても）可換環でない。

行列が区分行列に分解されるとき、そのような行列の積は、それらのブロックが適当なサイズならば、ブロック成分ごとに積を計算することができる。例えば

${\begin{aligned}\left[{\begin{array}{cc|cc}a&b&0&0\\c&d&0&0\\\hline x&y&1&0\\z&w&0&1\end{array}}\right]\cdot \left[{\begin{array}{c|c}n&0\\m&0\\\hline q&1\\p&0\end{array}}\right]&={\begin{bmatrix}A&0\\X&E_{2}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}N&0\\Q&\left[{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right]\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}AN+0&0+0\\XN+E_{2}Q&0+E_{2}\left[{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right]\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

である。ここで E₂ は二次の単位行列、右辺の 0 は全ての成分が 0_R（基礎環 R の零元）であるような適当なサイズの行列である。

転置

m × n 行列 A = [a_{i j}] の転置とは n × m 行列 ^tA = [a_{j i}], 即ち

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}\iff {}^{t}A={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{m1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1n}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}$

である。これはもとの行列の各列を各行に持つ行列であり、主対角成分 a_{1 1}, a_{2 2}, … に関して折り返したものになっている。

転置行列は以下の計算規則に従う：

${\begin{aligned}{}^{t}(A+B)&={}^{t}A+{}^{t}B\\{}^{t}(cA)&=c\,{}^{t}A\\{}^{t}({}^{t}A)&=A\\{}^{t}(AB)&={}^{t}B\,{}^{t}A\\{}^{t}(A^{-1})&=({}^{t}A)^{-1}\end{aligned}}$

行列式

n × n 行列 A = [a_{i j}] の行列式とは、

$\det(A)=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i\sigma (i)}$

で定義される数である。これは行列の固有値の積と一致し、det(E_n) = 1, det(A B) = det(A) det(B) などが成り立つ。

ランク

行列 A のランクまたは階数とは、この行列の列ベクトルの中で線型独立なものの最大個数であり、また 行ベクトルの中で線型独立なものの最大個数とも等しい。あるいは A の表現する線型写像の像の次元と言っても同じである。階数・退化次数の定理は、行列の核に階数を加えると、その行列の列の数に等しいことを述べるものである。

トレース

n × n 行列 A = [a_{i j}] のトレースまたは跡とは、その対角線上にある成分の和

$\operatorname {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dotsb +a_{nn}$

のことである。これは tr(A B) = tr(B A) を満たし、行列のトレースはその固有値の和に等しい。

内積とノルム

K-加群としての M_m×n(K) はまた、行列の積 ^tA B のトレース

$\langle A,B\rangle =\operatorname {tr} ({}^{t}AB)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}a_{ij}b_{ij}$

を内積に持つ。K = R のとき、これはユークリッドノルムを導き、M_m×n(R) は m n-次元ユークリッド空間 K^{m n} になる。この内積空間において、対称行列全体の成す部分空間と歪対称行列全体の成す部分空間とは互いに直交する。即ち、A が対称, B が歪対称ならば ⟨A, B⟩ = 0 が成り立つ。同様に K = C の場合には、M_m×n(C) は

$\langle A,B\rangle =\operatorname {tr} ({}^{t}{\bar {A}}B)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}{\bar {a}}_{ij}b_{ij}$

（ただし、上付きのバーは複素共軛）をエルミート内積として複素ユニタリ空間を成す（この内積をヒルベルト・シュミット内積と呼ぶ）。この内積はフロベニウスノルムを導き、M_m×n(C) はバナッハ空間となる。

その他の演算

差

任意の行列 B に対し、その成分をそれぞれの成分の加法逆元に全て取り換えた行列を −B と書けば、同じサイズの行列 A, B の和 A + (−B) を A − B と略記して差を定めることができる。より強く、スカラー乗法が定義される場合には、特にスカラー (−1)-倍は (−1)B = −B を満たすのだから、和とスカラー倍を使って差を定義することもできる。

${\begin{bmatrix}5&6\\-7&8\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}1&-2\\3&-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5-1&6-(-2)\\-7-3&8-(-4)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4&8\\-10&12\\\end{bmatrix}}$

とすればよい．

べき乗

n × n の正方行列 A に対して行列のべき乗は Aⁿ (ここで n は実数) と書かれる。

行列 A が対角化可能であれば、Aⁿ = (P⁻¹DP)ⁿ = P⁻¹DⁿP として容易に計算できる。

ベクトルの二項積

v と w を n × 1 の列ベクトルとすると、v と w との間に行列の積は定義されないが、^tv w および v ^tw は行列の積として定義することができる。前者は 1 × 1 行列であり、これをスカラーと解釈すれば、v と w との標準内積 ⟨v, w⟩ に他ならない。いっぽう後者は、階数 1 の n × n 行列で、v と w との二項積 v w あるいはテンソル積 v ⊗ w と呼ばれる。

行列の三項積

可換環 K 上の m × n 行列の全体 M_m×n(K) は加法とスカラー倍について K-加群を成すばかりでなく、その上の三項演算

$M_{m\times n}(K)\times M_{m\times n}(K)\times M_{m\times n}(K)\to M_{m\times n}(K);\quad (X,Y,Z)\mapsto \{X,Y,Z\}:=X\,{}^{t}Y\,Z$

を定義することができる。これと同様の方法で得られる三重線型な三項系（三項積）の一般論は、ジョルダン環あるいはリー環の理論とかかわりを持つ。

定義されない演算

以下のような計算は定義されないため実行してはならない。

• 異なる型の行列同士の和

${\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}g&h\\i&j\\k&l\end{bmatrix}}=\cdots$

• 正方行列ではない行列の逆行列

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}}^{-1}=\cdots$

• 正方行列ではない行列の行列式

$\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}}=\cdots$

• 正方行列ではない行列の固有値

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}=\lambda \,{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}$

• 正方行列ではない行列のトレース

$\operatorname {tr} {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}}=\cdots$