ケーリー・ハミルトンの定理とは?

Weblio 辞書 > 学問 > 算数・数学用語 > ケーリー・ハミルトンの定理の意味・解説 

ケーリー・ハミルトンの定理

行列[行列]単位行列[E]零行列[O]について、[ケーリー・ハミルトン]成り立つ。

これをケーリー・ハミルトンの定理という。

参考

ケイリー・ハミルトンの定理

(ケーリー・ハミルトンの定理 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2019/03/01 07:26 UTC 版)

線型代数学におけるケイリー・ハミルトンの定理(ケイリー・ハミルトンのていり、: Cayley–Hamilton theorem)、またはハミルトン・ケイリーの定理は(実数体や複素数体などの)可換環上の正方行列固有方程式を満たすという定理である[7]アーサー・ケイリーウィリアム・ローワン・ハミルトンにちなむ。




注釈

  1. ^ 四元数の乗法およびそれを用いた任意の構成(この文脈では特に行列式が顕著)には非可換性がかかわってくるから、十分に定義を検討する必要がある。分解型四元数に対するケイリー–ハミルトンの定理も(やや素性はよくない英語版が)同様に成立する[11]。四元数の場合も分解型四元数の場合も、ある種の 2 × 2 複素行列として表すことができる(ノルム 1 に制限すれば、これらの乗法の定める作用はそれぞれ特殊ユニタリ群 SU(2) および SU(1, 1) である)から、これらに対して定理が成り立つことは驚くことではない。そのような行列表現のできない八元数(八元数の乗法は非結合的であるから行列の積で表現することは不合理)でさえ、それでも修正版のケイリー–ハミルトンの定理が満足される[12]
  2. ^ 「天然(の)」という意味ではなく、permutation(置換)と determinant(行列式)を合成したカバン語のモジり。直訳的に合成すれば「置換式」。(テンソルの交代積に対する対称積のように、置換の符号を掛ける部分を取り除いて)行列式の反対称性を対称性で置き換えた対応物なので「対称的行列式」のように呼べるかもしれない。
  3. ^ これら係数の陽な表示は
    で与えられる。ただし、和は n
    l=1
    l⋅kl = ni
    を満たす分割 {kl ≥ 0} 全体の成す集合上を亙る
  4. ^ 例えば(ヤコビの公式英語版を解いている)(Brown 1994, p. 54) などを見よ:
    ただし B後で述べる随伴行列である。これと同値な、再帰的に関係したアルゴリズムをユルバン・ルヴェリエドミトリー・ファデーエフ英語版が導入した。そのファデーエフ–ルヴェリエアルゴリズム英語版からは
    が導かれる(例えば Gantmacher 1960, p. 88 を見よ)。A−1 = −Mn/c0 が再帰の終端となる。あとで述べる代数的証明では、件の随伴行列 BkMn−k の満たす性質に依拠している。具体的には および上記の p の微分を追跡すれば を得[16]、上記の再帰手続きが順に繰り返される。
  5. ^ A の固有値とは固有多項式 p(t) の根のことであった
  6. ^ 複素行列の共軛転置である随伴行列と混同してはならない
  7. ^ a b c d (佐武 1958, p. 137, 注意)によれば、「行列係数の多項式に関して乗法の交換の法則は一般には成立しないが,それ以外(加減乗の演算に関する限り)通常の多項式と全く同様に取り扱うことができる.また行列係数の多項式の間の等式には,それら係数行列のすべてと交換可能な行列を代入することができる.(係数行列と非可換な行列は代入することができない.)行列係数の多項式に関して整除の問題は複雑である」とある。
  8. ^ 行列式は行列の成分たちの積和であることを思い出そう。したがって、R 上の行列を成分に持つ行列の行列式はそれ自体が R 上の一つの行列である(係数環 R の元ではない)。つまり、ブロック行列の各ブロックをそれ自体一つの行列とみて、ブロック行列を行列の行列と考えるなら、その行列式はブロックたちの積和の形をしていなければならない。その一方、R上のブロック行列の成分は(ブロックではなくその中の)係数環 R の元自体であり、したがってブロック行列の行列式はそれ自身もまた R の元であって、両者の概念は一般には一致しない。

出典

  1. ^ a b Crilly 1998.
  2. ^ a b Cayley 1858, pp. 17–37.
  3. ^ Cayley 1889, pp. 475–496.
  4. ^ a b Hamilton 1864a.
  5. ^ a b Hamilton 1864b.
  6. ^ a b Hamilton 1862.
  7. ^ Eisenbud 1995, p. 120, Theorem 4.3 (Cayley-Hamilton).
  8. ^ Atiyah & MacDonald 1969.
  9. ^ Hamilton 1853, p. 562.
  10. ^ Zhang 1997.
  11. ^ Alagös, Oral & Yüce 2012.
  12. ^ Tian 2000.
  13. ^ a b Frobenius 1878.
  14. ^ Garrett 2007, p. 381.
  15. ^ 佐武 1958, p. 137, 注—「なお fA(A) = |AE − A| = 0 で証明終!と早合点してはいけない.」
  16. ^ Hou 1998.
  17. ^ Zeni & Rodrigues 1992.
  18. ^ Barut, Zeni & Laufer 1994a.
  19. ^ Barut, Zeni & Laufer 1994b.
  20. ^ Laufer 1997.
  21. ^ Curtright, Fairlie & Zachos 2014.
  22. ^ Stein, William. Algebraic Number Theory, a Computational Approach. pp. 29. http://wstein.org/books/ant/ant.pdf. 
  23. ^ Bhatia 1997, p. 7.




英和和英テキスト翻訳>> Weblio翻訳
英語⇒日本語日本語⇒英語
  

辞書ショートカット

すべての辞書の索引

「ケーリー・ハミルトンの定理」の関連用語

ケーリー・ハミルトンの定理のお隣キーワード

   

英語⇒日本語
日本語⇒英語
   
検索ランキング



ケーリー・ハミルトンの定理のページの著作権
Weblio 辞書情報提供元は参加元一覧にて確認できます。

  
数理検定協会数理検定協会
Copyright©2019 数理検定協会 All Rights Reserved.
ウィキペディアウィキペディア
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License.
この記事は、ウィキペディアのケイリー・ハミルトンの定理 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。 Weblio辞書に掲載されているウィキペディアの記事も、全てGNU Free Documentation Licenseの元に提供されております。

©2019 Weblio RSS