特性多項式、最小多項式との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/14 06:14 UTC 版)
「ジョルダン標準形」の記事における「特性多項式、最小多項式との関係」の解説
行列 A {\displaystyle A} のジョルダン標準形 J = P − 1 A P {\displaystyle J=P^{-1}AP} と、特性多項式 f A ( x ) = det ( x I − A ) {\displaystyle f_{A}(x)=\det(xI-A)} 、最小多項式 φ A ( x ) {\displaystyle \varphi _{A}(x)} には次のような関係がある。 なお、最小多項式とは f ( A ) = O {\displaystyle f(A)=O} となる多項式 f ( x ) {\displaystyle f(x)} のうち、次数が最小で、最高次係数が1のものを言う。 f ( A ) = O {\displaystyle f(A)=O} となる任意の多項式 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は、多項式として φ A ( x ) {\displaystyle \varphi _{A}(x)} で割り切れる（多項式としての除算の余りがゼロとなる）という性質がある。ケーリー・ハミルトンの定理により f A ( A ) = O {\displaystyle f_{A}(A)=O} であり、 f A ( x ) {\displaystyle f_{A}(x)} は多項式として φ A ( x ) {\displaystyle \varphi _{A}(x)} で割り切れる。 （１） f A ( x ) = det ( x I − A ) = det ( P − 1 ) det ( x I − A ) det ( P ) = det ( x I − P − 1 A P ) = det ( x I − J ) = f J ( x ) {\displaystyle f_{A}(x)=\det(xI-A)=\det(P^{-1})\det(xI-A)\det(P)=\det(xI-P^{-1}AP)=\det(xI-J)=f_{J}(x)} より、 f A ( x ) = f J ( x ) {\displaystyle f_{A}(x)=f_{J}(x)} （２）任意の多項式 f ( x ) = ∑ k = 0 n c k x k {\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}x^{k}} について、 f ( P − 1 X P ) = ∑ k = 0 n c k ( P − 1 X P ) k = P − 1 ∑ k = 0 n c k X k P = P − 1 f ( X ) P {\displaystyle f(P^{-1}XP)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}(P^{-1}XP)^{k}=P^{-1}\sum _{k=0}^{n}c_{k}X^{k}P=P^{-1}f(X)P} が言えるため、次が言える。 φ A ( J ) = φ A ( P − 1 A P ) = P − 1 φ A ( A ) P = O {\displaystyle \varphi _{A}(J)=\varphi _{A}(P^{-1}AP)=P^{-1}\varphi _{A}(A)P=O} よって φ A ( x ) {\displaystyle \varphi _{A}(x)} は、多項式として φ J ( x ) {\displaystyle \varphi _{J}(x)} で割り切れる φ J ( A ) = φ J ( P J P − 1 ) = P φ J ( J ) P − 1 = O {\displaystyle \varphi _{J}(A)=\varphi _{J}(PJP^{-1})=P\varphi _{J}(J)P^{-1}=O} よって φ J ( x ) {\displaystyle \varphi _{J}(x)} は、多項式として φ A ( x ) {\displaystyle \varphi _{A}(x)} で割り切れる 最小多項式は最高次係数が1のため φ A ( x ) = φ J ( x ) {\displaystyle \varphi _{A}(x)=\varphi _{J}(x)} （３）特性多項式が f A ( x ) = ∏ k = 1 m ( x − λ k ) n k {\displaystyle f_{A}(x)=\prod _{k=1}^{m}(x-\lambda _{k})^{n_{k}}} と因数分解( λ k {\displaystyle \lambda _{k}} は相異なる)される場合、 dim ( A ) = ∑ k = 1 m n k {\displaystyle \dim(A)=\sum _{k=1}^{m}n_{k}} であり、 J {\displaystyle J} の対角線上には λ k {\displaystyle \lambda _{k}} が n k {\displaystyle n_{k}} 個並ぶ。 （４）最小多項式が φ A ( x ) = ∏ k = 1 m ( x − λ k ) r k {\displaystyle \varphi _{A}(x)=\prod _{k=1}^{m}(x-\lambda _{k})^{r_{k}}} と因数分解( λ k {\displaystyle \lambda _{k}} は相異なる)される場合、 J {\displaystyle J} の固有値 λ k {\displaystyle \lambda _{k}} のジョルダン細胞の中で、次数が最大のものの次数は r k {\displaystyle r_{k}} である。 例1 特性多項式が ( x − λ 1 ) ( x − λ 2 ) {\displaystyle (x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})} 、最小多項式が ( x − λ 1 ) ( x − λ 2 ) {\displaystyle (x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})} の場合、 J = [ λ 1 0 0 λ 2 ] {\displaystyle J={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\\\end{bmatrix}}} 例2 特性多項式が ( x − λ ) 2 {\displaystyle (x-\lambda )^{2}} 、最小多項式が ( x − λ ) 2 {\displaystyle (x-\lambda )^{2}} の場合、 J = [ λ 1 0 λ ] {\displaystyle J={\begin{bmatrix}\lambda &1\\0&\lambda \\\end{bmatrix}}} 例3 特性多項式が ( x − λ ) 2 {\displaystyle (x-\lambda )^{2}} 、最小多項式が ( x − λ ) {\displaystyle (x-\lambda )} の場合、 J = [ λ 0 0 λ ] {\displaystyle J={\begin{bmatrix}\lambda &0\\0&\lambda \\\end{bmatrix}}} 例4 特性多項式が ( x − λ ) 4 {\displaystyle (x-\lambda )^{4}} 、最小多項式が ( x − λ ) 2 {\displaystyle (x-\lambda )^{2}} の場合、 J = [ λ 1 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ ] {\displaystyle J={\begin{bmatrix}\lambda &1&0&0\\0&\lambda &0&0\\0&0&\lambda &1\\0&0&0&\lambda \\\end{bmatrix}}} または J = [ λ 1 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ ] {\displaystyle J={\begin{bmatrix}\lambda &1&0&0\\0&\lambda &0&0\\0&0&\lambda &0\\0&0&0&\lambda \\\end{bmatrix}}}
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