CAPM (capital asset pricing modelとは? わかりやすく解説

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CAPM

読み方きゃっぷえむ
【英】:CAPM (capital asset pricing model

概要

市場参加者である投資家自己のポートフォリオ収益平均と分散基づいて投資活動行なったとき, 個々金融資産平均リターンベータ値呼ばれるリスク尺度とはどのように関係しているかを説明する理論モデルとして資本資産評価モデルCAPMがある.このモデルによれば, すべての金融資産超過収益率は, ベータ値係数とする市場ポートフォリオ超過収益率線形関数表現される.


詳説

 CAPMは資本資産評価モデルとよばれ,資本市場均衡下において危険資産リス クプレミアムがどのように決定されるかを説明するモデルである.このモデルはSharpe (1964),Linmer(1965),Mossin(1966)によって提案された.いずれのモデル危険資産投資収益基準議論を行うが,Sharpe-Lintner 型 CAPMはで投資比率によって ポートフォリオ定義し,リスクリターン平面上の無差別曲線使って最適ポートフォリオ考察するのに対し,Mossin 型 CAPMでは証券保有枚数によってポートフォリオ定義し,投資家効用関数から直接的に最適ポートフォリオ導出する点が異なる.本 項目ではSharpe-Lintner 型 CAPMを中心に説明を行う.

■ 市場均衡

 CAPMは投資家行動原理としてMarkoWitz(1952)のポートフォリオ選択(平均・分 散モデル)を利用している.したがって,CAPMではポートフォリオ選択の以下の仮定引き継ぐことになる.

① 1期間だけの投資考える.

② 投資家投資収益率平均および分散のみを考え,期待効用最大化する.

③ すべての資産無限に分割可能である.

④ 投資家プライステーカーとして行動する.

⑤ 市場摩擦はない.(取引コスト税金存在しない.)


さらにCAPMでは次の2つ仮定加える.

⑥ 投資収益同時分布についての予想は,すべての投資家一致している.

⑦ 安全資産1つ存在し,無制限に貸借可能である.

 この仮定⑥は投資家同質的期待とよばれ,すべての投資家リスクリターン平面上 で同じ投資機会集合と同じ効率的フロンティアをみていることを保証する.

 さて,安全資産存在するときには効率的フロンティアの外にまで投資機会集合は拡 れ,図1が示すリスクリターン平面上でグレー領域になる.この投資機会集合左上位置する境界投資家にとって最も効率的な投資が行えるポートフォリオ集合 であり,これを資本市場線(Capital Market Line; CML)とよぶ.

Figure1.jpg


このCML安全資産r\,とそこから効率的フロンティア引いた接点M\,との 組み合わせつくられることから,次式が与えられる.


\mu_P = r + \frac{\mu_M - r}{\sigma_M} \sigma_P \ \ \ (1)\,


ただし、\mu_P\,CML上にあるポートフォリオ期待リターン,\sigma_P\, はそのリスクである.

 合理的な投資家CML上のポートフォリオ保有する.すなわち、接点ポートフォリオ M\,安全資産の2資産のみを保有することになる.これを2資産分離とよぶ. 投資家による選好違いはこの2資産への配分比率にのみ現れる.このように,投資家効用とは 独立危険資産ポートフォリオM\,決定されることをポートフォリオ選択における 分離定理とよぶ.

 次に市場均衡考えてみよう.市場均衡とは,すべての資産についていかなる超過需要超過供給存在しない状態である.このとき,投資家は自らが希望する危険資産ポートフォリオ M\,をすでに保有しており,かつ,いかなる余剰資産保有していない. また市場全体について考えてみると,いかなる資産についても超過需要,超過供給存在しないということは,すべての危険資産その時総額比率ポートフォリオ M\,含まれていることになる.したがって,市場均衡状態においては, ポートフォリオM\,時価総額加重危険資産ポートフォリオ一致する. このようなポートフォリオは,面倒な効率的フロンティア計算接点求めことなしに, 直接的に市場観測することができる.このポートフォリオM\,危険資産市場代表する投資化共通の最適ポートフォリオであるから,これを 市場ポートフォリオとよぶ. なお,数ある市場インデックスの中で時価総額加重インデックス理論上優れているいわれるのは,この市場ポートフォリオ特性による.

 さて,市場ポートフォリオ個別資産の関係を見てみよう.資産i\,市場ポートフォリオ M\,とで新たにつくられる超過ポートフォリオ奇跡を描くと図2のようになる.


Figure2.jpg


超過ポートフォリオ軌跡CMLが点Mで接することから,次の証券市場線(Security Market Line; SML) が導かれる.


\mu_i = r + \beta_i (\mu_M - r) \ \ \ (2)\,


ただし,

\beta_i = \frac{\mbox{Cov}_{i,M}}{\sigma^2_M} \ \ \ (3)\,

である.

 式(2)個別資産期待リターン安全利子率リスクプレミアム分解されること を示している.また,リスクプレミアム市場超過収益(市場リスクプレミアム)を \beta_i\,倍したものになっており,この\beta_i\,リスクプレミアム大小決め重要なパラメー タとなる.式(3)\beta_i\,の定義を示しているが,これは市場ポートフォリオ個別資産投資収益率共分散によって\beta_i\,決定される.すなわち,これはシステマティックリ スクであり,分散投資によって除去することのできないリスクである.市場分散不可 能なシステマティックリスクにのみリスクプレミアム支払い,分散投資により消去可 能なアンシステマティックリスクに対してプレミアム支払わないのである.これが CAPMの結論である.

 なお,SML図示すると図3のようになる.


Figure3-1.jpg


 \beta = 1\,資産システマティックリスク大きさ市場ポートフォリオ一致し,した がって期待リターン市場ポートフォリオ期待リターン一致する.\beta\,が1より小さ資産市場よリローリスクローリターンであり防御的銘柄,\beta\,が1より大きい資産市場よリハイリスクハイリターンで攻撃的銘柄分類される.


■ ゼロベータCAPM

Black(1972)は安全資産存在しない場合均衡モデル提案した.効率的フロンティ アの数学的特徴から,フロンティア上にある任意のポートフォリオに対して,相関がゼ ロ,すなわちベータゼロとなるポートフオリオが同じ効率的フロンテイア上に必ず存在 する.したがって,市場ポートフォリオMが効率的フロンテイア上にあるならば,それ に対するゼロベータポートフォリオZを安全資産かわりに用いることにより,CAPM が成立する.これをゼロベータCAPMあるいはBlackモデルとよぶ.

Figure4.jpg

ゼロベータCAPMでは次のような証券市場線導かれる.


\mu_i = \mu z + \beta_i (\mu_M - \mu z) \ \ \ (4)\,


ただし,

\beta_i = \frac{\mbox{Cov}_{i,M}}{\sigma_M^2 } \ \ \ (5)\,

である.


■ CAPMの検証

 CAPMはその結論シンプルさゆえ,古くから数多く検証が行われてきた.その代表 的なものにBlack,Jensen and Scholes(1972), Blume and Fiend(1973), Fama and MacBeth (1973)などがある.その実手続きは主に以下のようなのである.

Step1 市場ポートフオリオの代理変数として適切な市場インデックス1つ定める.

Step2 市場インデックス,個別株式,安全資産月次収益率収集する.

Step3 月々投資収益率からその月の安全利子率差し引いた超過収益率求める.

Step4 個別株式超過収益市場インデックス超過収益単回帰(時系列回帰)し, 各株式\beta\,値を計測する.

Step5 \beta\,大小によリランキングされた20銘柄程度ポートフォリオ作成する.

Step6 ポートフオリオの期待収益率\beta\,値で単回帰(横断回帰)することで,SML検証する.

 彼らの検証結果によるとSML傾きはややフラットであるものの,概ねCAPMは支 持された.しかし,このような検証方法に対してRoll(1977)により大きな疑問点が提 示された.その要旨は以下のようなのである.BlackのゼロベータCAPMが示すよう に,SML成立市場ポートフォリオ効率的フロンティア上にあることと同値であ る.しかし,これまでの検証では市場ポートフォリオ代理変数として市場インデック スが用いられる.したがって,これまでの実証分析分析用いられ市場インデック スの効率性検証していることにほかならず,これはCAPMの検証とは無関係である. 真の市場ポートフォリオ用いられないかぎり,本当のCAPMの検証とはなりえない. しかし,市場ポートフォリオはその性質上,投資可能なあらゆる危険資産を含まなけれならない.株式債券のみならず実物資産人的資本を含むすべての危険資産構成 を巌密に調べるのは不可能である.したがって,CAPMの検証原理的に可能だが実 質的に不可能である.

 このような批判受けて,Ross(1976)はCAPMに代わる新し資産評価理として 裁定価格理論(Arbitragc Pricing Theory;APT)を提案した.CAPMが単一 ファクター(市場ポートフォリオ)モデルなのに対し,APT複数ファクターモデルである.またAPT市場ポートフォリオ存在前提としないため,Roll批判からは無縁である.

 このようなCAPMをめぐる論争の中,株式期待投資収益率にはCAPMでは説明さ れない有意な銘柄格差があることが見つかつた.これをアノマリー現象とよぶ.Basu (1977)は高い収益株価比率(EPR)をもつポートフォリオが高いリターンを示すことを発 見した.Banz(1981)は投資収益率株式相対時価総額(規模尺度)の間に統計的に 有意な負の関係があり,これが\beta\,説明力上回ることを発見した. Fama and French (1992)は株式時価総額(規模尺度)や株価純資産倍率(PBR)の逆数リターンをうまく説明しており,市場インデックス対す\beta\,に対して期待リターンフラットである ことを発見した.

 現在もCAPMの検証をめぐる問題は,市場効率性チェックあるいは新たなリスク プレミアム発見への期待絡んでさまざまな研究が行われているが,いまだはっきり とした結論には至っていない.しかし,CAPMの検証結果明確でないとしても,それ がCAPMの理論的な価値下げるものではない.われわれが資本市場行動する際に CAPMが提供してくれるリスク概念は,その検証可能性とは無関係に有用なのである.


■ 連続時間モデル

 1期モデルであるCAPMを多期間あるいは連続時間拡張しようとするのは自然な 流れである.このとき,1期間CAPMで導かれリターン\beta\,線形関係維持される かどうか最大論点となる.

 Merton(1973)は資産評価モデル初め連続時間フレームワーク導入した.彼の ICAPM (Intertemporal CAPM)では連続的な資産取引想定し,第i\,資産価格P_i\,次の伊藤過程に従うものと仮定する.


\frac{\mbox{d}P_i}{P_i} = \mu_i (x) \mbox{d}t + \sigma_i (x)\mbox{d} z_i \ \ \ (6)\,


ただし,\mu_i\,資産i\,期待収益率,x\,状態変数,\sigma^2_i\,収益率分散である.

 また,状態変数x\,1次元伊藤過程

\mbox{d} x=m(x) \mbox{d} t + s(x) \mbox{d}z_x \ \ \ (7)\,

に従うものとする.

 次に,投資家kは時点tにおける消費c_{k,t}\,から効用を得るものと考え,以下のよう な効用時間積分期待値考える.

\mbox{E} \Bigg[ \int_0^T u_k (c_{k,t} , x, t) \mbox{d}t \Bigg] \ \ \ (8)\,

この期効用最大化問題を解くことにより,最適ポートフォリオ戦略w_k次のよ うに導かれる.

 \boldsymbol{w}_k = A_k [\boldsymbol{1}^T \boldsymbol{V}^{-1} (\mu - r\boldsymbol{1})]\boldsymbol{w}_T + H_k [\boldsymbol{1}^T \boldsymbol{V}^{-1} \boldsymbol{\sigma}_x]\boldsymbol{w}_H \ \ \ (9)\,

ただし,

 \boldsymbol{w}_T = \frac{\boldsymbol{V}^{-1} (\mu -r\boldsymbol{1})}{\boldsymbol{1}^T \boldsymbol{V}^{-1} (\mu - r\boldsymbol{1}) } \ \ \ (10)\,

 \boldsymbol{w}_H = \frac{\boldsymbol{V}^{-1} \boldsymbol{\sigma}_x}{\boldsymbol{1}^T \boldsymbol{V}^{-1} \boldsymbol{\sigma}_x } \ \ \ (11)\,


である.ここでA_k\,投資家kの相対リスク回避度(ARR),\boldsymbol{V}\,資産価格変化率の共 分散行列,H_k\,投資家kの状態変数x\,対す選好を表すパラメータ,\boldsymbol{\sigma}_x\,は各資産変 化率と状態変数x\,との共分散ベクトルである.式(10)が示す\boldsymbol{w}_T\,効率的フロンティア 上の接点ポートフォリオであり,式(11)が示す\boldsymbol{w}_H\,状態変数x\,との相関最大となる ポートフォリオである.式(9)により3資産分離定理導かれる.すなわち,投資家安全資産,接点ポートフォリオ\boldsymbol{w}_r\,,ヘッジポートフォリオ\boldsymbol{w}_H\,投資するのである.

 最後にICAPMが導く期待リターンリスクプレミアム関係式示そう.


 \mu_i = r + \beta_{i,T} \lambda_T + \beta_{i,x} \lambda_x \ \ \ (12)\,


ここで\beta_{i,T}\,接点ポートフォリオとの\beta\,値,\lambda_T\,接点ポートフォリオリスクプレミアム期待超過リターン),\beta_{i,x}\,状態変数x\,対するヘッジポートフォリオの\beta\,値,\lambda_x\,はヘッジポートフォリオのリスクプレミアムである.

 これまで状態変数x\,スカラーであると仮定してきたが, これがs\,次元ベクトルであ る場合には,


 \mu_i = r + \beta_{i,T} \lambda_T + \sum_{x=1}^s \beta_{i,x} \lambda_x \ \ \ (13)\,


となる.このモデルはマルチベータモデルとも呼ばれる.



参考文献

[1] Black,F.(1972),"Capital market equilibrium with restricted borrowing," Journal of Business,45,444-455.

[2] Black,F.,M.C. Jensen and M.Scholes (1972), "The capital asset pricing model: Some empirical tests," in Jensen,M.C. ed., Studies inTheory of Capital Markets, Praeger.

[3] Blume,M.E. and I.Friend (1973),"A new look at the capital asset pricing model," Journal of Finance, 28, 19-33.

[4] Fama, E.F. and J. MacBeth (1973), "Rish return, and equilibrium: Empirical Tests:" Journal of Polititcal Economy,81.

[5] Fama E.F. and K.R. French (1992), "The cross section of expected stock returns," Journal of Finance, 47, 427-466.

[6] Lintner, J. (1965), "Ihe valuation of risky assets and the selection of risky assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capital budgets,"Review of Economics and Statistics, 47, 13-37.

[7] Merton, R. (1973), "An intertemporal capital asset pricing model," Econometrica, 4l, 867-887.

[8] Mossin, J. (1966), "Equilibrium in a capital asset market," Econometrica, 34, 768-783.

[9] Roll, R. (1977), "A critique of the asset pricing theory's tests : Part I : On past and potential testability of the theory," Journal of Financial Economics, 4.

[10] Ross,R. (19?6), "the arbitrage theory of capital asset pricing," Journal of Economic Theory, l3.

[11] Sharpe,W.F. (1964), "Capital asset prices: A theory of market equilibrium under conditions of risk," Journal of Finance, 19, 425-442.

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