STEP6
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/22 08:14 UTC 版)
補題 6 式(2-5-1)、式(2-5-2)の A a d v {\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{\mathrm {adv} }} , A r e t {\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{\mathrm {ret} }} は、それぞれ、以下を充す。 A a d v ( r , t ) = μ 0 4 π ∫ s ∈ R 3 i ( s , t a d v ) | r − s | ⋅ d s {\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{\mathrm {adv} }({\boldsymbol {r}},t)={\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}{\dfrac {{\boldsymbol {i}}({\boldsymbol {s}},{t}_{\mathrm {adv} })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (2-6-1) A r e t ( r , t ) = μ 0 4 π ∫ s ∈ R 3 i ( s , t r e t ) | r − s | ⋅ d s {\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{\mathrm {ret} }({\boldsymbol {r}},t)={\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}{\dfrac {{\boldsymbol {i}}({\boldsymbol {s}},{t}_{\mathrm {ret} })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (2-6-2) 但し、 t a d v = t + | r − s | c {\displaystyle {t}_{\mathrm {adv} }=t+{\frac {|r-s|}{c}}} (2-6-3) t r e t = t − | r − s | c {\displaystyle {t}_{\mathrm {ret} }=t-{\frac {|r-s|}{c}}} (2-6-4) を意味する。 式(2-6-2)を示す。式(2-5-2)の G r e t {\displaystyle G_{\mathrm {ret} }} に、式(2-4-5)を代入すると、 A ^ r e t ( s , ω ) = − μ 0 ∫ s ∈ R 3 − exp ( − i k | r − s | ) i ^ ( s , ω ) 4 π | r − s | ⋅ d s {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}_{\mathrm {ret} }({\boldsymbol {s}},\omega )=-{\mu }_{0}\int _{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {-\exp(-ik|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|){\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {s}},\omega )}{4\pi |{\boldsymbol {{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}}}|}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (2-6-5) 式(2-6-5)の、 A ^ r e t {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}_{\mathrm {ret} }} にフーリエ逆変換をすると、 A r e t ( t , r ) = μ 0 2 π ∫ ω = − ∞ ω = ∞ ( ∫ s ∈ R 3 exp ( − i k | r − s | ) i ^ ( s , ω ) 4 π | r − s | ⋅ d s ) exp ( i ω t ) d ω {\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{\mathrm {ret} }({\boldsymbol {t,{\boldsymbol {r}}}})={\frac {{\mu }_{0}}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\omega =-\infty }^{\omega =\infty }\left(\int _{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {\exp(-ik|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|){\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {s}},\omega )}{4\pi |{\boldsymbol {{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}}}|}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\right)\exp(i\omega t)\ d\omega } (2-6-6a) = μ 0 4 π ∫ s ∈ R 3 1 | r − s | ( 1 2 π ∫ ω = − ∞ ω = ∞ exp ( i ( ω t − k | r − s | ) ) i ^ ( s , ω ) d ω ) ⋅ d s {\displaystyle ={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {1}{|{\boldsymbol {{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}}}|}}\left({\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\omega =-\infty }^{\omega =\infty }\exp(i(\omega t-k|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|)){\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {s}},\omega )\ d\omega \right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (2-6-6b) = μ 0 4 π ∫ s ∈ R 3 1 | r − s | ( 1 2 π ∫ ω = − ∞ ω = ∞ exp ( i ω ( t − | r − s | c ) ) i ^ ( s , ω ) d ω ) ⋅ d s {\displaystyle ={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {1}{|{\boldsymbol {{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}}}|}}\left({\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\omega =-\infty }^{\omega =\infty }\exp(i\omega \left(t-{\frac {|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}{c}}\right)){\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {s}},\omega )\ d\omega \right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (2-6-6c) = μ 0 4 π ∫ s ∈ R 3 1 | r − s | ( 1 2 π ∫ ω = − ∞ ω = ∞ exp ( i ω t r e t ) i ^ ( s , ω ) d ω ) ⋅ d s {\displaystyle ={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {1}{|{\boldsymbol {{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}}}|}}\left({\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\omega =-\infty }^{\omega =\infty }\exp(i\omega t_{\mathrm {ret} }){\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {s}},\omega )\ d\omega \right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (2-6-6d) = μ 0 4 π ∫ s ∈ R 3 i ( s , t r e t ) | r − s | ⋅ d s {\displaystyle ={\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}{\dfrac {{\boldsymbol {i}}({\boldsymbol {s}},{t}_{\mathrm {ret} })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (2-6-6e) を得る。ここで、(2-6-6a) から(2-6-6b)の式変形では、 ω {\displaystyle \omega } に依存しない項を” ∫ d ω {\displaystyle \int \ d\omega } ”の外に括りだしている。 (2-6-6b) から (2-6-6c)の式変形では、 式(2-3-4)、即ち k = ω / c {\displaystyle k=\omega /c} を考慮した。また、 (2-6-6d)から、 (2-6-6e)の式変形は、(2-1-5b) に、tretを代入したものである。
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