きゅう‐すう〔キフ‐〕【級数】
きゅうすう 【級数】
級数
級数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/24 00:57 UTC 版)
数学における級数 (きゅうすう、英: series) とは、ひと口に言えば数や関数など互いに足すことのできる数学的対象の列について考えられる無限項の和のことである。ただし「無限の項の総和」が何を表しているのかということはしばしば解析学の言葉を用いて様々な場合に意味を与える（#級数の収束性の節を参照）ことができるが、そのようなことができない「発散する級数」もあれば、級数自体を新たな形式的対象としてとらえることもある。小さくなっていく実数を項とする級数の収束性については様々な判定条件が与えられている。
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<級数（プルーフ）>
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/10 23:41 UTC 版)
「とわいすあっぷっ!」の記事における「<級数（プルーフ）>」の解説
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級数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/08 14:28 UTC 版)
オイラー多項式（Euler poynomial） E n ( x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) E k 2 k ( x − 1 2 ) n − k {\displaystyle E_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {E_{k}}{2^{k}}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{n-k}} オイラーの和公式 - オイラー＝マクローリンの和の公式（Euler–Maclaurin summation formula）とも呼ばれる。 ∑ j = 0 n − 1 f ( j ) = ∫ 0 n f ( x ) d x + ∑ k = 1 m B k k ! ( f ( k − 1 ) ( n ) − f ( k − 1 ) ( 0 ) ) + R m {\displaystyle \sum _{j=0}^{n-1}f(j)=\int _{0}^{n}f(x)dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R_{m}}
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級数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/26 01:11 UTC 版)
円周率を含む級数 π = 1 Z {\displaystyle \pi ={\frac {1}{Z}}} Z = ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n ) ! ) 3 ( 42 n + 5 ) ( n ! ) 6 16 3 n + 1 {\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {((2n)!)^{3}(42n+5)}{(n!)^{6}{16}^{3n+1}}}} π = 4 Z {\displaystyle \pi ={\frac {4}{Z}}} Z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 4 n ) ! ( 21460 n + 1123 ) ( n ! ) 4 441 2 n + 1 2 10 n + 1 {\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(21460n+1123)}{(n!)^{4}{441}^{2n+1}{2}^{10n+1}}}} π = 4 Z {\displaystyle \pi ={\frac {4}{Z}}} Z = ∑ n = 0 ∞ ( 6 n + 1 ) ( 1 2 ) n 3 4 n ( n ! ) 3 {\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(6n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}^{3}}{{4^{n}}(n!)^{3}}}} π = 32 Z {\displaystyle \pi ={\frac {32}{Z}}} Z = ∑ n = 0 ∞ ( 5 − 1 2 ) 8 n ( 42 n 5 + 30 n + 5 5 − 1 ) ( 1 2 ) n 3 64 n ( n ! ) 3 {\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)^{8n}{\frac {(42n{\sqrt {5}}+30n+5{\sqrt {5}}-1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}^{3}}{{64^{n}}(n!)^{3}}}} π = 27 4 Z {\displaystyle \pi ={\frac {27}{4Z}}} Z = ∑ n = 0 ∞ ( 2 27 ) n ( 15 n + 2 ) ( 1 2 ) n ( 1 3 ) n ( 2 3 ) n ( n ! ) 3 {\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {2}{27}}\right)^{n}{\frac {(15n+2)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{3}}\right)_{n}\left({\frac {2}{3}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}} π = 15 3 2 Z {\displaystyle \pi ={\frac {15{\sqrt {3}}}{2Z}}} Z = ∑ n = 0 ∞ ( 4 125 ) n ( 33 n + 4 ) ( 1 2 ) n ( 1 3 ) n ( 2 3 ) n ( n ! ) 3 {\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{125}}\right)^{n}{\frac {(33n+4)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{3}}\right)_{n}\left({\frac {2}{3}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}} π = 85 85 18 3 Z {\displaystyle \pi ={\frac {85{\sqrt {85}}}{18{\sqrt {3}}Z}}} Z = ∑ n = 0 ∞ ( 4 85 ) n ( 133 n + 8 ) ( 1 2 ) n ( 1 6 ) n ( 5 6 ) n ( n ! ) 3 {\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{85}}\right)^{n}{\frac {(133n+8)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{6}}\right)_{n}\left({\frac {5}{6}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}} π = 5 5 2 3 Z {\displaystyle \pi ={\frac {5{\sqrt {5}}}{2{\sqrt {3}}Z}}} Z = ∑ n = 0 ∞ ( 4 125 ) n ( 11 n + 1 ) ( 1 2 ) n ( 1 6 ) n ( 5 6 ) n ( n ! ) 3 {\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{125}}\right)^{n}{\frac {(11n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{6}}\right)_{n}\left({\frac {5}{6}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}} π = 2 3 Z {\displaystyle \pi ={\frac {2{\sqrt {3}}}{Z}}} Z = ∑ n = 0 ∞ ( 8 n + 1 ) ( 1 2 ) n ( 1 4 ) n ( 3 4 ) n ( n ! ) 3 9 n {\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(8n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{9}^{n}}}} π = 3 9 Z {\displaystyle \pi ={\frac {\sqrt {3}}{9Z}}} Z = ∑ n = 0 ∞ ( 40 n + 3 ) ( 1 2 ) n ( 1 4 ) n ( 3 4 ) n ( n ! ) 3 49 2 n + 1 {\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(40n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{49}^{2n+1}}}} π = 2 11 11 Z {\displaystyle \pi ={\frac {2{\sqrt {11}}}{11Z}}} Z = ∑ n = 0 ∞ ( 280 n + 19 ) ( 1 2 ) n ( 1 4 ) n ( 3 4 ) n ( n ! ) 3 99 2 n + 1 {\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(280n+19)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{99}^{2n+1}}}} π = 2 4 Z {\displaystyle \pi ={\frac {\sqrt {2}}{4Z}}} Z = ∑ n = 0 ∞ ( 10 n + 1 ) ( 1 2 ) n ( 1 4 ) n ( 3 4 ) n ( n ! ) 3 9 2 n + 1 {\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(10n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{9}^{2n+1}}}} π = 4 5 5 Z {\displaystyle \pi ={\frac {4{\sqrt {5}}}{5Z}}} Z = ∑ n = 0 ∞ ( 644 n + 41 ) ( 1 2 ) n ( 1 4 ) n ( 3 4 ) n ( n ! ) 3 5 n 72 2 n + 1 {\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(644n+41)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}5^{n}{72}^{2n+1}}}} π = 4 3 3 Z {\displaystyle \pi ={\frac {4{\sqrt {3}}}{3Z}}} Z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 28 n + 3 ) ( 1 2 ) n ( 1 4 ) n ( 3 4 ) n ( n ! ) 3 3 n 4 n + 1 {\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(28n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{3^{n}}{4}^{n+1}}}} π = 4 Z {\displaystyle \pi ={\frac {4}{Z}}} Z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 20 n + 3 ) ( 1 2 ) n ( 1 4 ) n ( 3 4 ) n ( n ! ) 3 2 2 n + 1 {\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(20n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{2}^{2n+1}}}} π = 72 Z {\displaystyle \pi ={\frac {72}{Z}}} Z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 4 n ) ! ( 260 n + 23 ) ( n ! ) 4 4 4 n 18 2 n {\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(260n+23)}{(n!)^{4}4^{4n}18^{2n}}}} π = 3528 Z {\displaystyle \pi ={\frac {3528}{Z}}} Z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 4 n ) ! ( 21460 n + 1123 ) ( n ! ) 4 4 4 n 882 2 n {\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(21460n+1123)}{(n!)^{4}4^{4n}882^{2n}}}} ( x ) n {\displaystyle (x)_{n}} は階乗冪。Ramanujan–Sato seriesを参照
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級数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/09 09:28 UTC 版)
詳細は「級数」および「総和法」を参照 有限和の場合を拡張して、可算無限個の元の列 x1,x2, … に対しても総和を定義することができる。これを特に無限和 (infinite sum)、無限級数 (infinite series) あるいは単に級数（きゅうすう、series）と呼ぶ。 総和と同様に、部分和をとる操作を行う。しかし、この操作は、元が有限個である場合と違って有限回で終了しない。ここで、部分和 si の極限を級数の値とする（ただし、チェザロ和などのように値の算出法が異なる総和法も存在する）。部分和の列 si が収束または発散することを以って、級数は収束 (converge) あるいは発散 (diverge) するという。与えられた列から作られる級数が収束するとき、その級数の値をもとの列の和と呼ぶ。 可算列 {xi}i∈N の級数を記号で ∑ i = 1 ∞ x i {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}} と表す。このようにして、可算無限集合の全ての元に対しても、先程と同様に級数として総和を定義することができる。なお上の級数は、 ∑ i = 1 ∞ x i = ∑ i ∈ N x i {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}=\sum _{i\in \mathbb {N} }x_{i}} とも書かれる。 なお一般に（可算とは限らない）無限集合で添え字付けられるような元の族 (xλ)λ∈Λ の総和も形式的には ∑ λ ∈ Λ x λ {\displaystyle \sum _{\lambda \in \Lambda }x_{\lambda }} として表すことができるが、この場合きちんと収束性について調べなければ、これが定義されているのかすら分からない。
※この「級数」の解説は、「総和」の解説の一部です。
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