関数解析学

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関数解析学

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/20 06:00 UTC 版)

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プロジェクト 数学

ポータル 数学

関数解析学（かんすうかいせきがく、英: functional analysis、仏: Analyse fonctionnelle、函数解析学とも書かれる。別名は位相解析学。）は数学（特に解析学）の一分野で、フーリエ変換や微分方程式、積分方程式などの研究に端を発している^[1][2][3][4]。特定のクラスの関数からなるベクトル空間にある種の位相構造を定めた関数空間や、その公理化によって得られる線形位相空間の構造が研究される^[1][2][3][4]。主な興味の対象は、様々な関数空間上で積分や微分によって定義される線型作用素の振る舞いを通じた積分方程式や微分方程式の線型代数学的取り扱いであり、無限次元ベクトル空間上の線型代数学と捉えられることも多い^[1][2][3]。また、無限次元空間上での微分 (フレシェ微分など) を扱うため、無限次元空間上での微分積分学という捉え方も可能である^[4]。

応用

関数解析の中でも特にヒルベルト空間論は量子力学の数学的基礎である^[5][6]。また、コンピュータが高度に発達した現代においては数値解析（特に有限要素法、精度保証付き数値計算）において微分方程式の解の存在を議論するためなどに使われる他^{[7][8][9][10][11]}、機械学習にも応用される^[12]。

→「有限要素法」および「精度保証付き数値計算」も参照

主な研究者

海外

• リース・フリジェシュ
• ステファン・バナッハ
• ダフィット・ヒルベルト
• イズライル・ゲルファント
• ピーター・ラックス

日本

• 加藤敏夫
• 吉田耕作
• 藤田宏
• 増田久弥

関連項目

• 弱解
• 弱形式
• 汎関数
• 超関数
• スペクトル (関数解析学)
• 関数方程式
• 有限要素法

微分

• フレシェ微分
• ガトー微分
• 汎関数微分

関数解析の定理

→「Category:関数解析学の定理」も参照

• リースの表現定理
• バフスカ＝ラックス＝ミルグラムの定理
• フレドホルムの定理
  • フレドホルムの交代定理
• ニュートン＝カントロビッチの定理
• サードの定理
• ベールの範疇定理
• 開写像定理
• ハーン-バナッハの定理

不等式

• ソボレフ不等式
• ポアンカレ不等式
• フリードリヒの不等式
• ベッセルの不等式

不動点定理

• バナッハの不動点定理
• ブラウワーの不動点定理
• 無限次元空間における不動点定理

関数空間

• バナッハ空間
  • バナッハ空間の一覧
• ヒルベルト空間
• ソボレフ空間
• ハーディ空間

作用素

• コンパクト作用素
  • ヒルベルト空間上のコンパクト作用素
• ヒルベルト＝シュミット作用素
• フレドホルム作用素
• 随伴作用素
• 射影作用素
• 閉作用素
• 微分作用素
• 積分作用素

関連分野

• フレドホルム理論
• 作用素論
• 作用素環論
• フーリエ解析
• 実解析

半群

• 解析半群
• C0半群

出典

[脚注の使い方]

1. ^ ^{a b c} Functional analysis at nLab
2. ^ ^{a b c} Weisstein, Eric W. "Functional Analysis." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/FunctionalAnalysis.html
3. ^ ^{a b c} Functional analysis from Encyclopedia of Mathematics
4. ^ ^{a b c} 関数解析の基礎-${\displaystyle \infty }$

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表 話 編 歴 数学
主要分野	数理論理学 集合論 圏論 代数学 初等 線型 多重線型 抽象 算術/数論 解析学/微分積分学 関数解析学 行列解析 幾何学 代数 微分 有限 離散 位相 代数的位相 表現論 リー理論（英語版） 微分方程式 線型微分方程式 複素微分方程式 常微分方程式 偏微分方程式 積分微分方程式 力学系 組合せ数学 数理物理学 ゲーム理論 グラフ理論 最適化問題 数理最適化 計算理論 確率論 数理統計学（英語版） 制御理論 三角法
トピックス	数学史 和算 算道 数理哲学 美 未解決問題 算数・数学教育 算数 教科
主要賞	ド・モルガン・メダル コール賞 フィールズ賞 スティール賞 ウルフ賞 ショウ賞 アーベル賞 数学ブレイクスルー賞
応用	情報理論 折紙の数学 囲碁と数学 数値解析 精度保証付き数値計算 計算機援用証明 数値線形代数 常微分方程式の数値解法 偏微分方程式の数値解法
学会・団体	国際数学者会議 国際数学連合 国際産業数理・応用数理会議 国際産業数理・応用数理評議会（英語版） アメリカ数学会 SIAM ヨーロッパ数学会 ロンドン数学会 日本応用数理学会 日本数学会 数学教育協議会
競技	国際数学オリンピック 日本数学オリンピック 日本ジュニア数学オリンピック 広中杯 近畿大学数学コンテスト 人の最大の力を競う算数・数学の大会
研究所	京都大学数理解析研究所 明治大学先端数理科学インスティテュート 統計数理研究所 アンリ・ポアンカレ研究所 オーバーヴォルファッハ数学研究所 クレイ研究所 CIMAT数学研究センター ステクロフ数学研究所
一覧 数学定数 数 関数 図形 数学記号 数学者 エポニム カテゴリ ポータル

表 話 編 歴 関数解析学
集合 / 部分集合のタイプ	均衡 星状 絶対凸 凸 併呑 有界（英語版） 放射状（英語版） 対称（英語版） 線型錐（部分集合） 凸錐（部分集合）
線型位相空間のタイプ	バナッハ 樽型 界相 Brauner（英語版） F-空間 有限次元 フレシェ (tame) ヒルベルト LF空間 局所凸 マッキー（英語版） モンテル 核型 ノルム付き（ノルム） 準ノルム付き 回帰的 リース スミス（英語版） Stereotype（英語版） ウェブ付き 位相テンソル積（英語版）（ヒルベルト空間の（英語版））
位相	双対 双対空間 作用素 強（極 作用素） Ultrastrong（英語版） 弱（作用素） Ultraweak（英語版） 一様収束（英語版）
線型作用素	随伴 双線型（形式） 有界 / 非有界 閉（英語版） 連続 / 不連続 コンパクト フレドホルム ヒルベルト＝シュミット 汎関数（正（英語版）） 正規 核 自己共役 Strictly singular（英語版） トレースクラス 転置 ユニタリ
集合の操作	代数的内部（核） 内部 ミンコフスキー和（英語版） 極
バナッハ環	C*-環 スペクトル（C*-環（英語版） 半径) スペクトル理論
定理	Eberlein–Šmulian（英語版） 開写像 角谷の不動点 ゲルファント＝マズール コーシー＝シュワルツの不等式 Goldstine（英語版） シャウダーの不動点 パーセヴァルの等式 ハーン–バナッハ（分離超平面） バナッハ＝アラオグル Banach–Saks（英語版） Banach–Mazur（英語版） フロイデンタールのスペクトル 閉値域 閉グラフ ベッセルの不等式 マッキー＝アレンス マズールの補題 リースの拡張 Lomonosov's invariant subspace（英語版） ニュートン＝カントロビッチ
解析	ボホナー空間 フレシェ空間における微分（英語版） 微分（フレシェ ガトー 汎函数 holomorphic（英語版）） 積分（ボホナー Dunford ゲルファント＝ペティス 方正 弱) 汎函数計算（Borel（英語版） continuous（英語版） holomorphic（英語版）） 逆函数定理（Nash–Moser theorem（英語版）） ベクトル測度
応用	量子力学の数学的定式化 有限要素法 偏微分方程式の解に対する精度保証付き数値計算
日本人研究者	加藤敏夫 吉田耕作 藤田宏 増田久弥
海外の研究者	リース・フリジェシュ ステファン・バナフ ダフィット・ヒルベルト イズライル・ゲルファント ピーター・ラックス
カテゴリ

表 話 編 歴 解析学の主要なトピックス
微分積分学: 積分法 微分法 微分方程式 (常 - 偏) 基本定理 変分法 ベクトル解析 テンソル解析 積分一覧 導関数一覧（英語版）
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関数解析学

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/13 12:00 UTC 版)

「解析学」の記事における「関数解析学」の解説

微分法は極値を求める問題であるが、これを一般化し、与えられた汎関数が極値を持つような関数を求める問題が変分法であり、物理学において広く応用されている。汎関数の解析学を更に一般化して関数を関数空間の点としてみなすことによって、関数解析学は誕生した。その起源はフレシェの1906年の抽象空間論 などに見られるが大元は積分方程式であろう。ここでディリクレ問題が重要となり、そのためにはディリクレ原理の正当化が必要となった。最初に研究したフレドホルムは失敗したが、ヒルベルトはその正当化に成功し、更に積分方程式の研究を進めるが、ノイマンはこれを更に一般化することによってヒルベルト空間を利用し量子力学の数学的基礎付けを成し遂げた。