作用素のスペクトルにおける点の分類

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作用素のスペクトルにおける点の分類

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/15 14:14 UTC 版)

「スペクトル (関数解析学)」の記事における「作用素のスペクトルにおける点の分類」の解説

「スペクトル分解 (関数解析学)」も参照 有界な作用素 T において、T が下に有界でかつ稠密な値域を持つことと、T が逆作用素を持つ、すなわち有界な逆元を持つこととは同値である。したがって、T のスペクトルは、以下のように分類できる。 もし λ ∈ σ(T) なら、λ − T は下に有界ではない。T は有界なので、T のすべての固有値 λ について、λ − T は下に有界でない。固有値の集合は T の点スペクトルと呼ばれる。また、λ − T は 1 対 1 だが下に有界でない場合もある。そのような λ は、T の近似点スペクトルに含まれるという。 また、λ − T が稠密な値域を持たないこともある。そのような場合には、λ は T の剰余スペクトルに含まれるという。 実際には、全単射性は逆元を有するための十分条件であって、必要条件でないことに注意されたい。十分性は有界逆定理による。また、このように定義すれば、各スペクトルの間に共通部分があっても問題がない。 以下に、σ(T) の 3 つの部分について、より詳しく述べる。