作用積分を通じた測地線方程式の導出

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作用積分を通じた測地線方程式の導出

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/03 19:29 UTC 版)

「一般相対性理論における測地線」の記事における「作用積分を通じた測地線方程式の導出」の解説

測地線方程式は、最小作用の原理を用いて導出することもできる（そして最も一般的な導出方法である）。 作用を次のように定義する。 S = ∫ d s ここで、 d s = − g μ ν ( x ) d x μ d x ν は線素（英語版）である。ここから測地線方程式を得るには、この作用に変分を加える必要がある。このために、この作用をパラメータ λ により媒介変数表示することとしよう。すると、以下の方程式が得られる。 S = ∫ − g μ ν d x μ d λ d x ν d λ d λ これを曲線 x μ について変分を取ると、最小作用の原理により次の方程式が得られる。 0 = δ S = ∫ δ ( − g μ ν d x μ d λ d x ν d λ ) d λ = ∫ δ ( − g μ ν d x μ d λ d x ν d λ ) 2 − g μ ν d x μ d λ d x ν d λ d λ より具体的にするため、固有時 τ によって媒介変数表示することにしよう。四元速度は（時間的経路については） -1 に規格化されるので、上式は次の方程式と同等であるといえる。 0 = ∫ δ ( g μ ν d x μ d τ d x ν d τ ) d τ 分配則を用いて、以下のように展開できる。 0 = ∫ ( d x μ d τ d x ν d τ δ g μ ν + g μ ν d δ x μ d τ d x ν d τ + g μ ν d x μ d τ d δ x ν d τ ) d τ = ∫ ( d x μ d τ d x ν d τ ∂ α g μ ν δ x α + 2 g μ ν d δ x μ d τ d x ν d τ ) d τ 部分積分を用い、（境界においてゼロとなる）全微分を落とすと、次が得られる。 0 = ∫ d τ ( d x μ d τ d x ν d τ ∂ α g μ ν δ x α − 2 δ x μ d d τ ( g μ ν d x ν d τ ) ) = ∫ d τ ( d x μ d τ d x ν d τ ∂ α g μ ν δ x α − 2 δ x μ ∂ α g μ ν d x α d τ d x ν d τ − 2 δ x μ g μ ν d 2 x ν d τ 2 ) 若干整理すると、以下を得る。 0 = ∫ d τ δ x μ ( − 2 g μ ν d 2 x ν d τ 2 + d x α d τ d x ν d τ ∂ μ g α ν − 2 d x α d τ d x ν d τ ∂ α g μ ν ) したがって、 0 = ∫ d τ δ x μ ( − 2 g μ ν d 2 x ν d τ 2 + d x α d τ d x ν d τ ∂ μ g α ν − d x α d τ d x ν d τ ∂ α g μ ν − d x ν d τ d x α d τ ∂ ν g μ α ) この方程式を − 1 2 倍すると、 0 = ∫ d τ δ x μ ( g μ ν d 2 x ν d τ 2 + 1 2 d x α d τ d x ν d τ ( ∂ α g μ ν + ∂ ν g μ α − ∂ μ g α ν ) ) よって、ハミルトンの原理（英語版）により次のオイラー＝ラグランジュ方程式を得る。 g μ ν d 2 x ν d τ 2 + 1 2 d x α d τ d x ν d τ ( ∂ α g μ ν + ∂ ν g μ α − ∂ μ g α ν ) = 0 逆計量テンソル g μ β をかけて、次を得る。 d 2 x β d τ 2 + 1 2 g μ β ( ∂ α g μ ν + ∂ ν g μ α − ∂ μ g α ν ) d x α d τ d x ν d τ = 0 ここに、測地線方程式が得られた。 d 2 x β d τ 2 + Γ β α ν d x α d τ d x ν d τ = 0 クリストッフェル記号計量テンソルを用いて以下のように定義される。 Γ β α ν = 1 2 g μ β ( ∂ α g μ ν + ∂ ν g μ α − ∂ μ g α ν ) （注意: この導出は、光的および空間的経路についても同様に成り立つ。）