Model theoryとは？わかりやすく解説

モデル理論（もでるりろん、英 : Model theory）は、数理論理学による手法を用いて数学的構造（例えば、群、体、グラフ、集合論の宇宙）を研究（分類）する数学の分野である。

モデル理論における研究対象は、形式言語の文に意味を与える構造（英語版）としてのモデルである。もし言語のモデルがある特定の文（英語版）または理論（英語版）（特定の条件を満足する文の集合）を満足するならば、それはその文または理論のモデルと呼ばれる。

モデル理論は代数および普遍代数と関係が深い。

この記事では、無限構造の有限一階モデル理論に焦点を絞っている。有限構造を対象とする有限モデル理論は、扱っている問題および用いている技術の両方の面で、無限構造の研究とは大きく異なるものとなっている。完全性は高階述語論理または無限論理において一般的には成立しないため、これらの論理に対するモデル理論は困難なものとなっている。しかしながら、研究の多くの部分はそのような言語によってなされている。

概要

プログラム意味論において操作的意味論と表示的意味論があるように、数理論理学における（論理式の）操作的意味論に相当するものが証明論であるのに対し、モデル理論は同様の類推で表示的意味論に当たる。すなわち、前者は論理式の証明中での振る舞いを定めた形式的体系を研究するのに対して、後者は論理式の構成要素である記号に数学的対象（元、関数、関係等）を割り当てる解釈（モデル）を研究の対象とする。Chang（英語版）およびKeisler（英語版） (1990) の一ページ目を引用すると：

普遍代数 + 構造（英語版） = モデル理論.

普遍代数学では（等号以外の）関係記号を備えず専ら関数記号のみを備える理論のモデル（代数）を考察対象とするのに対し、（一階述語論理の）モデル理論ではより一般に関係記号をも備えた理論のモデルを考察対象とするということである。モデル理論は1990年代に急速に発展し、より現代的な定義はウィルフリッド・ホッジス（英語版） (1997) によって与えられた：

モデル理論 = 代数幾何学 − 体.

代数幾何学では主に代数的集合のような体上の定義可能集合を考察対象とするが、モデル理論では体に限らない一般のモデルにおける代数的集合をも考察対象とするということである。

モデル理論の不完全かつ幾分恣意的な下位区分として、古典モデル理論、群および体への応用、および幾何学的モデル理論がある。ここに含まれていないものに計算可能モデル理論（英語版）があるが、これは論理学の独立した下位分野として見ることができると言っても良い。ゲーデルの完全性定理を含む古典モデル理論初期の定理の例は、上方および下方レーヴェンハイム-スコーレムの定理、ヴォート（英語版）の two-cardinal 定理、スコットの同形定理、タイプ排除定理 (omitting types theorem) 、そしてリル＝ナルゼウスキの定理（英語版）がある。モデル理論が体へ応用された初期の結果の例は、タルスキの実閉体についての量化記号消去法（英語版）、擬有限体 (pseudo finite field) 上のアックス（英語版）の定理、そしてロビンソンの超準解析の開発がある。古典モデル理論の発展において、安定理論（英語版）の誕生が（非可算カテゴリー論 [uncountably categorical theory] 上のMorleyの範疇性定理（英語版）およびシェラハの分類プログラムを通して）重要なステップとなった。この安定理論は、理論が満たす構文条件に基づくランクと独立性の算法を発展させた。この数十年で、応用モデル理論はより純粋な安定理論と繰り返し融合してきた。この合成の結果は、この記事では幾何学的モデル理論と呼ばれている。幾何学的モデル理論は、古典幾何学的安定理論と同じく、例えばo-minimality（英語版）を含むために利用されている。幾何学的モデル理論の例は、関数体についてのMordell–Lang予想（英語版）のフルショフスキーによる証明がある。幾何学的モデル理論の目標は、純粋なモデル理論の研究において実際に開発されたツールによって、さまざまな数学的構造における定義可能集合の詳細な研究を行い、数学の地理学を提供することである。

例

非自明なモデルの文脈における統語論および意味論を含む基本的な関係を説明するために、統語論側でペアノの公理のような自然数についての適切な公理とその関連する理論から始めることができる。意味論側では、通常の連続数がモデルを構成する。1930年代、スコーレムはその公理を満たす別のモデル（算術の超準モデル）を開発した。これはある特定のモデルにおいて、言語または理論を解釈（英語版）することによって何を意味するのかを説明する。より伝統的な例は、ある群によって与えられたモデルの文脈において、群のような特定の代数系の公理を解釈することである。

普遍代数

→詳細は「普遍代数学」を参照

普遍代数の根本的な概念はシグネチャ（英語版） σ および σ-代数である。これらの概念は構造（英語版）の記事において詳細に定義されている。

有限モデル理論

→詳細は「有限モデル理論」を参照

有限モデル理論は、普遍代数と密接に関連しているモデル理論の領域である。普遍代数のいくつかの領域と同様に、またモデル理論の他の領域と反対に、有限モデル理論は主に有限代数またはより一般的にはシグネチャ σ の有限 σ-構造（英語版）を対象としている。

一階述語論理

→詳細は「一階述語論理」を参照

普遍代数がシグネチャ（英語版）の意味論を与える一方、論理は統語論を与える。恒等式および疑恒等式（英語版）の項とともに、普遍代数はいくつかの限定的な統語論のツールも利用している。例えば、一階述語論理は量化を明確にし否定を取り入れた結果である。

公理化可能性、量化記号消去、およびモデル完全性

モデル理論を群のような（グラフ理論においては木のような）数学的対象のクラスへ応用する最初のステップは、多くの場合は自明であるが、シグネチャ σ を選択することおよびその数学的対象を σ-構造で表現することである。次のステップは、そのクラスが初等クラス（英語版）、すなわち、一階述語論理における公理化可能である（すなわち、σ-構造が理論Tを満足する場合のみ、クラス内にそのσ を含むような理論T が存在する）ことを示すことである。例えば、このステップは木では失敗する、連結性が一階述語論理内で表現できないためである。公理化可能性は、モデル理論が正当な対象について語ることができるのを保証する。量化記号消去法は、モデル理論がその対象について多くのことを言い過ぎないようにすることを保証する。理論 T は、T におけるすべてのモデルの下位構造（英語版）（これもモデルである）が初等下位構造ならモデル完全（英語版）と呼ばれる。

範疇性

一階述語論理の節で見られたように、一階理論は範疇的でありえない。すなわち、一階述語論理は同形なある一意なモデルを、そのモデルが有限でない限り記述することができない。しかし、二つの有名なモデル理論に関する定理は基数κ についての κ-範疇性のより弱い概念を扱うことができる。もし濃度がκ である理論Tの二つのモデルが同形であるならば, T はκ-範疇的と呼ばれる。κ-範疇性の疑問は、κ がその言語の濃度よりも大きいかどうか（すなわち、 $\aleph _{0}$