初等同値性とは？わかりやすく解説

数理論理学の一分野であるモデル理論において、同じシグネチャ σ の2つの構造 M と N が同じ一階σ-文を満たすとき、M と N は初等的同値であるという。

N が M の部分構造であるとき、さらに強い条件について考える場合がある。N が M の初等部分構造 であるとは一階 σ-式 φ(a₁, …, a_n)（ただしパラメータ a₁, …, a_n は全て N の元）が N で真であることと M で真であることが同値であること。N が M の初等部分構造であるとき、M は N の 初等拡大 という。埋め込み h: N → M は h(N) が M の初等部分構造であるとき、N から M への 初等埋め込みと呼ぶ。

M の部分構造 N が初等的であるのは、それがタルスキ–ヴォートテストを通ることと同値である: すなわち x を未知数とする任意の1階の式 φ(x, b₁, …, b_n)（ただし、パラメータは全て N の元）が M に解を持つならいつでも N でも解を持つこと。また、二つの構造の初等同値性を示すにはEhrenfeucht–Fraïssé gamesを用いた判定法もある。

初等埋め込みはrank-into-rank基数を含む巨大基数研究に用いられる。

初等同値な構造

同じシグネチャ σ の構造 M と N が初等的同値であるとは、自由変数を持たない σ 上の一階文が M で真であることと N で真であることが同値であることである。すなわち、M と N が同じ完全な一階理論を持つことである。M と N が初等的同値であることを M ≡ N で表すことがある。

一階の理論が完全であることは、その理論のいかなる二つのモデルも初等的同値であることと、同値である。

例えば、一つの二項関係記号 '<' のみを持つ言語を考える。通常の順序を入れた実数全体の集合 R と有理数全体の集合 Q は初等的同値である。というのも、両方とも '<' は非有界の稠密線型順序であるからである。それで初等同値性が分かるのは、ウォッシュ-ヴォートテストで示されるように、非有界稠密線型順序の理論が完全であるためである。

より一般に、無限モデルを持ついかなる一階理論にも、同型でない初等同値なモデルが存在する。このことはレーヴェンハイム-スコーレムの定理から得られる。例えば、ペアノ算術の超準モデルは通常の 0, 1, 2, etc. 以外のオブジェクトを持つが、標準モデルと初等的同値である。

初等部分構造と初等拡大

N が M の初等部分構造や初等部分モデル であるとは、N と M が同じシグネチャ σ についての構造であって、全ての一階 σ-式 φ(x₁, …, x_n) （ただし、x₁, …, x_n は自由変数）について a₁, …, a_n が N の元であるのならば、φ(a₁, …, a_n) が N で成り立つときかつその時に限り M でも成り立つことをいう:

N\models \varphi (a_{1},\dots ,a_{n}){\text{ if and only if }}M\models \varphi (a_{1},\dots ,a_{n}).

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