正規分布関数

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正規分布

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/04/09 15:30 UTC 版)

正規分布

確率密度関数 正規分布の確率密度関数。赤は標準正規分布
累積分布関数 正規分布の累積分布関数：色は確率密度関数と同じ
母数	$\mu \in \mathbb {R}$ また、多変量の統計として共分散まで込めた多次元の正規分布も定義され、平均 μ = (μ1, μ2, …, μn) の n 次元正規分布の同時密度関数は次の式で与えられる。 $f(x)={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{n}{\sqrt {\vert {\mathit {\Sigma }}\vert }}}}\exp \!\left(-{\frac {1}{2}}(x-\mu )^{\mathrm {T} }\,{\mathit {\Sigma }}^{-1}(x-\mu )\right)$ 歪正規分布の確率密度関数 正規分布の拡張としては、上で示した多次元化を施した多変量正規分布の他に、歪正規分布 (Skew-Normal (SN) distribution) がある。これは三変数で表現され、そのうち1つの変数について α = 0 のときに正規分布となることから、分布を平均と分散の二変数で表現する正規分布の拡張であるといえる。φ(x) を標準正規分布の確率密度関数とする。 $\phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$ ゴルトンボードでは、1つの球が落ちる過程で二項分布に従う動きを繰り返し、正規分布に近づく。 正規分布が統計学上特別な地位を持つのは中心極限定理が存在するためである。中心極限定理とは、「独立同分布に従う確率変数 $X$ 正規Q-Qプロット 何らかの事象について法則性を捜したり理論を構築しようとしたりする際、その確率分布がまだ分かっていない場合にはそれが正規分布であると仮定して推論することは珍しくないが、誤った結論にたどりついてしまう可能性がある。標本データが正規分布に近似しているかどうを判断するためには、尖度と歪度を調べる、ヒストグラムを見る、正規Q-Qプロットをチェックする、あるいはシャピロ–ウィルク検定やコルモゴロフ–スミルノフ検定（正規分布）を利用する方法などが一般的に行われている。 点推定 平均や分散が未知の正規分布に従うデータから、母数 θ = (μ, σ2) を推定したいことがある。これには次の推定量 ${\hat {\theta }}=({\hat {\mu }},{\hat {\sigma }}^{2})$ 標準正規分布がもつ確率密度関数のグラフ 正規分布 N(μ, σ2) からの無作為標本 x を取ると、平均 μ からのずれが ±1σ 以下の範囲に x が含まれる確率は 68.27%、±2σ 以下だと 95.45%、さらに ±3σ だと 99.73% となる。これは68–95–99.7則と呼ばれることもある。 正規分布は、t分布やF分布といった種々の分布の考え方の基礎になっているだけでなく、実際の統計的推測においても、仮説検定、区間推定など、様々な場面で利用される。 正規分布 N(μ, σ) に従う確率変数 X が与えられたとき Z = X − μ/σ と標準化すれば確率変数 Z は標準正規分布に従う。大学レベルの統計入門のクラスでは必ず行われているが、Z 値を求めることで標準正規分布表と呼ばれる変量に対応した確率を表す一覧表を用いて、コンピュータを使うことなく正規分布に従った事象の確率を求めることができる。 不連続値をとる確率変数についての検定の場合でも、連続変数と同様の考え方で正規分布を近似的に用いることがある。これは標本の大きさ n が大きく、かつデータの階級幅が狭いほど、近似の精度が高い。 標準正規分布における信頼度の推移 標準正規分布におけるσ区間の推移 信頼区間に対する信頼度の推移 信頼区間 信頼度 危険率 百分率 百分率 比 0.318 639σ 25% 75% 3/4 0.674490σ 50% 50% 1/2 0.994458σ 68% 32% 1/3.125 1σ 68.2689492% 31.7310508% 1/3.1514872 1.281552σ 80% 20% 1/5 1.644854σ 90% 10% 1/10 1.959964σ 95% 5% 1/20 2σ 95.4499736% 4.5500264% 1/21.977895 2.575829σ 99% 1% 1/100 3σ 99.7300204% 0.2699796% 1/370.398 3.290527σ 99.9% 0.1% 1/1000 3.890592σ 99.99% 0.01% 1/10000 4σ 99.993666% 0.006334% 1/15787 4.417173σ 99.999% 0.001% 1/10,0000 4.5σ 99.9993204653751% 0.0006795346249% 1/14,7159.5358 4.891638σ 99.9999% 0.0001% 1/100,0000 5σ 99.9999426697% 0.0000573303% 1/174,4278 5.326724σ 99.99999% 0.00001% 1/1000,0000 5.730729σ 99.999999% 0.000001% 1/1,0000,0000 6σ 99.9999998027% 0.0000001973% 1/5,0679,7346 6.109410σ 99.9999999% 0.0000001% 1/10,0000,0000 6.466951σ 99.99999999% 0.00000001% 1/100,0000,0000 6.806502σ 99.999999999% 0.000000001% 1/1000,0000,0000 7σ 99.9999999997440% 0.000000000256% 1/3906,8221,5445 標準正規分布表 引用元：(成実清松 & 坂井忠次 1952) 標準正規分布 $X\sim N(0,1)$	出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。 記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2016年4月）

• ハラルド・クラメール (1946). Mathematical Methods of Statistics. Princeton Mathematical Series. 9. Princeton University Press. MR 0016588. Zbl 0063.01014. https://books.google.co.jp/books?id=CRTKKaJO0DYC  (Review by W. Feller)
• 稲垣宣生『数理統計学』裳華房、1990年。 ISBN 4-7853-1406-0。 
• JIS Z 8101-1:2015 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率及び一般統計用語, 日本規格協会, https://www.jisc.go.jp/app/jis/general/GnrJISSearch.html 
• Stigler, Stephen M. (1986). The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900. The Belknap Press of Harvard University Press. ISBN 0-674-40340-1. MR 0852410. Zbl 0656.62005. https://books.google.co.jp/books?id=M7yvkERHIIMC 
• 日本数学会 編『岩波 数学辞典』（第4版）岩波書店、2007年。 ISBN 978-4-00-080309-0。 
• 成実清松、坂井忠次『数理統計学要説』培風館、1952年。doi:10.11501/1371195。NDLJP:1371195。https://dl.ndl.go.jp/pid/1371195/1/1。 

関連項目

• 中心極限定理
• 正規乱数
• シックス・シグマ
• 標準得点
• 安定分布
• 統計量
• 確率分布
• ｔ分布
• F分布
• カイ二乗分布
• ポアソン分布

外部リンク

• 正規分布表 (PDF) —— 脇本和昌『身近なデータによる統計解析入門』森北出版、1973年。 ISBN 4627090307。https://web.archive.org/web/20190102193334/http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/1321。  付表
• 『正規分布』 - コトバンク