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正規分布

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正規分布

確率密度関数 正規分布の確率密度関数。赤は標準正規分布
累積分布関数 正規分布の累積分布関数：色は確率密度関数と同じ
母数	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ また、多変量の統計として共分散まで込めた多次元の正規分布も定義され、平均 μ = (μ1, μ2, …, μn) の n 次元正規分布の同時密度関数は次の式で与えられる。 ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{n}{\sqrt {\vert {\mathit {\Sigma }}\vert }}}}\exp \!\left(-{\frac {1}{2}}(x-\mu )^{\mathrm {T} }\,{\mathit {\Sigma }}^{-1}(x-\mu )\right)}$ 歪正規分布の確率密度関数 正規分布の拡張としては、上で示した多次元化を施した多変量正規分布の他に、歪正規分布 (Skew-Normal (SN) distribution) がある。これは三変数で表現され、そのうち1つの変数について α = 0 のときに正規分布となることから、分布を平均と分散の二変数で表現する正規分布の拡張であるといえる。φ(x) を標準正規分布の確率密度関数とする。 ${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$ 標準正規分布がもつ確率密度関数のグラフ 正規分布 N(μ, σ2) からの無作為標本 x を取ると、平均 μ からのずれが ±1σ 以下の範囲に x が含まれる確率は 68.27%、±2σ 以下だと 95.45%、さらに ±3σ だと 99.73% となる[1]。 正規分布は、t分布やF分布といった種々の分布の考え方の基礎になっているだけでなく、実際の推測統計学においても、仮説検定、区間推定など、様々な場面で利用される。 正規分布 N(μ, σ) に従う確率変数 X が与えられたとき Z = X − μ/σ と標準化すれば確率変数 Z は標準正規分布に従う。大学レベルの統計入門のクラスでは必ず行われているが、Z 値を求めることで標準正規分布表と呼ばれる変量に対応した確率を表す一覧表を用いて、コンピュータを使うことなく正規分布に従った事象の確率を求めることができる。 不連続値をとる確率変数についての検定の場合でも、連続変数と同様の考え方で正規分布を近似的に用いることがある。これは標本の大きさ n が大きく、かつデータの階級幅が狭いほど、近似の精度が高い。 標準正規分布における信頼度の推移 標準正規分布におけるσ区間の推移 信頼区間に対する信頼度の推移 信頼区間 信頼度 危険率 百分率 百分率 比 0.318 639σ 25% 75% 3/4 0.674490σ 50% 50% 1/2 0.994458σ 68% 32% 1/3.125 1σ 68.2689492% 31.7310508% 1/3.1514872 1.281552σ 80% 20% 1/5 1.644854σ 90% 10% 1/10 1.959964σ 95% 5% 1/20 2σ 95.4499736% 4.5500264% 1/21.977895 2.575829σ 99% 1% 1/100 3σ 99.7300204% 0.2699796% 1/370.398 3.290527σ 99.9% 0.1% 1/1000 3.890592σ 99.99% 0.01% 1/10000 4σ 99.993666% 0.006334% 1/15787 4.417173σ 99.999% 0.001% 1/10,0000 4.5σ 99.9993204653751% 0.0006795346249% 1/14,7159.5358 4.891638σ 99.9999% 0.0001% 1/100,0000 5σ 99.9999426697% 0.0000573303% 1/174,4278 5.326724σ 99.99999% 0.00001% 1/1000,0000 5.730729σ 99.999999% 0.000001% 1/1,0000,0000 6σ 99.9999998027% 0.0000001973% 1/5,0679,7346 6.109410σ 99.9999999% 0.0000001% 1/10,0000,0000 6.466951σ 99.99999999% 0.00000001% 1/100,0000,0000 6.806502σ 99.999999999% 0.000000001% 1/1000,0000,0000 7σ 99.9999999997440% 0.000000000256% 1/3906,8221,5445 正規分布の適用 自然界の事象の中には正規分布に従う数量の分布をとるものがあることが知られている[11]。また、そのままでは変数が正規分布に従わない場合もその対数をとると正規分布に従う場合がある。 正規分布が統計学上特別な地位を持つのは中心極限定理が存在するためである。中心極限定理は、「独立な同一の分布に従う確率変数の算術平均（確率変数の合計を変数の数で割ったもの）の分布は、元の確率変数に標準偏差が存在するならば、元の分布の形状に関係なく、変数の数が多数になったとき、正規分布に収束する」というものである[1]。このため大標本の「平均値」の統計には、正規分布が仮定されることが非常に多い。なお、「独立な同一の分布に従う確率変数の値」自身は、標本数をどれだけ増やしても、元の分布に従うだけで、正規分布に収束することはない。（一つのサイコロを振ったときの目の分布は、サイコロをどれだけ多く振っても、１から６の均等分布である。正規分布に収束するのは、出た目の平均値の分布である。） 前述のごとく自然界の事象の中には、正規分布に従う数量の分布をとるものがあることが知られている。しかしそれは必ずしも多数派というわけではない。19世紀ではさながら「正規分布万能主義」といったものがまかり通っていたが、20世紀以降そういった考え方に修正が見られた。今日においては社会現象、生物集団の現象等々、種別から言えば、正規分布に従うものはむしろ少数派であることが確認されている。例えば、フラクタルな性質を持つ物は正規分布よりも、パレート分布になることが多い。人間は自然界の事象とは違って自分の意思をもっているため、たとえば、子供の成績などは決して正規分布にはならない[11]。しかし、そもそも理論上、正規分布の x の値は負の無限大から正の無限大まで取れるのに対して、多くの事象は最小値（例えば比例尺度におけるゼロ）と最大値（例えばテストにおける100点満点）が予め定まっている場合があり、そのような事象が完全な正規分布に従うとするには無理がある（その際はcensoringつまり打ち切りを考慮したり、対数正規分布を用いたりするとより正確な確率を求めることが出来る場合がある）。また、0 および自然数しかとらない離散確率分布、例えばポアソン分布や二項分布を連続確率分布である正規分布で近似することも一般的に行われている。 検定 正規Q-Qプロット 何らかの事象について法則性を捜したり理論を構築しようとしたりする際、その確率分布がまだ分かっていない場合にはそれが正規分布であると仮定して推論することは珍しくないが、誤った結論にたどりついてしまう可能性がある。標本データが正規分布に近似しているかどうを判断するためには、尖度と歪度を調べる、ヒストグラムを見る、正規Q-Qプロットをチェックする、あるいはシャピロ–ウィルク検定やコルモゴロフ–スミルノフ検定（正規分布）を利用する方法などが一般的に行われている。 点推定 平均や分散が未知の正規分布に従うデータから、母数 θ = (μ, σ2) を推定したいことがある。これには次の推定量 ${\displaystyle {\hat {\theta }}=({\hat {\mu }},{\hat {\sigma }}^{2})}$	出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。 記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2016年4月）

• ハラルド・クラメール (1946). Mathematical Methods of Statistics. Princeton Mathematical Series. 9. Princeton University Press. MR0016588. Zbl 0063.01014. https://books.google.co.jp/books?id=CRTKKaJO0DYC  (Review by W. Feller)
• 稲垣宣生『数理統計学』裳華房、1990年。ISBN 4-7853-1406-0。 
• JIS Z 8101-1:1999 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率及び一般統計用語, 日本規格協会, http://kikakurui.com/z8/Z8101-1-1999-01.html 
• Stigler, Stephen M. (1986). The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900. The Belknap Press of Harvard University Press. ISBN 0-674-40340-1. MR0852410. Zbl 0656.62005. https://books.google.co.jp/books?id=M7yvkERHIIMC 
• 日本数学会 編『岩波 数学辞典』（第4版）岩波書店、2007年。ISBN 978-4-00-080309-0。 
• 成実清松、坂井忠次『数理統計学要説』培風館、1952年。doi:10.11501/1371195。NDLJP:1371195。https://dl.ndl.go.jp/pid/1371195/1/1。 

関連項目

• 中心極限定理
• 正規乱数
• シックス・シグマ
• 標準得点
• 安定分布
• 統計量
• 確率分布
• ｔ分布
• F分布
• カイ二乗分布
• ポアソン分布

外部リンク

• 正規分布表 (PDF) —— 脇本和昌『身近なデータによる統計解析入門』森北出版、1973年。ISBN 4627090307。https://web.archive.org/web/20190102193334/http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/1321。  付表
• 『正規分布』 - コトバンク

表 話 編 歴 確率分布
離散単変量で 有限台	ベンフォード ベルヌーイ ベータ二項（英語版） 二項 categorical（英語版） 超幾何 ポワソン二項 ラーデマッハ（英語版） 離散一様 ジップ ジップ–マンデルブロー（英語版）
離散単変量で 無限台	ベータ負二項（英語版） ボレル（英語版） コンウェイ–マクスウェル–ポワソン（英語版） 離散位相型（英語版） ドラポルト（英語版） 拡張負二項（英語版） ガウス–クズミン 幾何 対数（英語版） 負の二項 放物フラクタル（英語版） ポワソン スケラム（英語版） ユール–サイモン（英語版） ゼータ（英語版）
連続単変量で 有界区間に台を持つ	逆正弦（英語版） ARGUS（英語版） バルディング–ニコルス（英語版） ベイツ（英語版） ベータ beta rectangular（英語版） アーウィン–ホール（英語版） クマラスワミー（英語版） ロジット-正規（英語版） 非中心ベータ（英語版） raised cosine（英語版） reciprocal（英語版） 三角 U-quadratic（英語版） 一様 ウィグナー半円
連続単変量で 半無限区間に台を持つ	ベニーニ（英語版） ベンクタンダー第一種（英語版） ベンクタンダー第二種（英語版） 第2種ベータ Burr（英語版） カイ二乗 カイ（英語版） Dagum（英語版） デービス（英語版） 指数-対数（英語版） アーラン 指数 F folded normal（英語版） Flory–Schulz（英語版） フレシェ ガンマ gamma/Gompertz（英語版） 一般逆ガウス（英語版） Gompertz（英語版） half-logistic（英語版） half-normal（英語版） Hotelling's T-squared（英語版） 超アーラン（英語版） 超指数（英語版） hypoexponential（英語版） 逆カイ二乗（英語版） scaled inverse chi-squared（英語版） 逆ガウス 逆ガンマ コルモゴロフ レヴィ 対数コーシー 対数ラプラス（英語版） 対数ロジスティック（英語版） 対数正規 ロマックス（英語版） 行列指数（英語版） マクスウェル–ボルツマン マクスウェル–ユットナー（英語版） ミッタク-レフラー（英語版） 仲上（英語版） 非心カイ二乗 パレート 位相型（英語版） poly-Weibull（英語版） レイリー relativistic Breit–Wigner（英語版） ライス（英語版） shifted Gompertz（英語版） 切断正規 タイプ2ガンベル（英語版） ワイブル 離散ワイブル（英語版） ウィルクスのラムダ（英語版）
連続単変量で 実数直線全体に台を持つ	コーシー（ローレンツ、ブライト・ウィグナー） 指数冪（英語版） フィッシャーの z（英語版） ガウスの q（英語版） 一般正規（英語版） 一般化双曲型 幾何安定（英語版） ガンベル ホルツマルク（英語版） 双曲線正割 ジョンソンの SU（英語版） ランダウ ラプラス 非対称ラプラス（英語版） ロジスティック 非心 t 正規 (ガウス) 正規逆ガウス（英語版） 歪正規（英語版） スラッシュ 安定 スチューデントの t タイプ1ガンベル（英語版） トレイシー–ウィダム（英語版） 分散ガンマ（英語版） フォークト
連続単変量で タイプの変わる台を持つ	一般極値 一般パレート（英語版） マルチェンコ–パストゥール（英語版） q-指数（英語版） q-ガウス q-ワイブル（英語版） shifted log-logistic（英語版） トゥーキーのラムダ（英語版）
混連続-離散単変量	rectified Gaussian（英語版）
多変量 (結合)	【離散】 エウェンズ（英語版） 多項 ディリクレ多項（英語版） 負多項（英語版） 【連続】 ディリクレ 一般ディリクレ（英語版） 多変量正規 多変量安定（英語版） 多変量 t（英語版） 正規逆ガンマ（英語版） 正規ガンマ（英語版） 【行列値】 逆行列ガンマ（英語版） 逆ウィッシャート（英語版） 行列正規（英語版） 行列 t（英語版） 行列ガンマ（英語版） 正規逆ウィッシャート（英語版） 正規ウィッシャート（英語版） ウィッシャート
方向	【単変量 (円周) 方向】 円周一様（英語版） 単変数フォン・ミーゼス wrapped 正規（英語版） wrapped コーシー（英語版） wrapped 指数（英語版） wrapped 非対称ラプラス（英語版） wrapped レヴィ（英語版） 【二変量 (球面)】 ケント（英語版） 【二変量 (トロイダル)】 二変数フォン・ミーゼス（英語版） 【多変量】 フォン・ミーゼス–フィッシャー（英語版） ビンガム（英語版）
退化と特異	【退化】 ディラックのデルタ関数 【特異】 カントール
族	円周（英語版） 混合ポワソン（英語版） 楕円（英語版） 指数 自然指数（英語版） 位置尺度（英語版） 最大エントロピー（英語版） 混合（英語版） ピアソン（英語版） トウィーディ（英語版） wrapped（英語版）
サンプリング法（英語版）	逆関数サンプリング法 マルコフ連鎖モンテカルロ法（メトロポリス・ヘイスティングス法・ギブスサンプリング・スライスサンプリング） 粒子フィルタ ボックス＝ミュラー法 棄却サンプリング（英語版） ジッグラト法（英語版） マルサグリア法（英語版）
一覧（英語版） カテゴリ

表 話 編 歴 統計学
標本調査	標本 母集団 無作為抽出 層化抽出法
記述統計学	連続データ 位置 平均 算術 幾何 調和 中央値 分位数 順序統計量 最頻値 階級値 分散 範囲 偏差 偏差値 標準偏差 標準誤差 変動係数 決定係数 相関係数 自己相関 共分散 自己共分散 分散共分散行列 百分率 統計的ばらつき モーメント 分散 歪度 尖度 カテゴリデータ 頻度 分割表
推計統計学	仮説検定 パラメトリック t検定 ウェルチのt検定 F検定 Z検定 二項検定 ジャック–ベラ検定 シャピロ–ウィルク検定 分散分析 共分散分析 ノンパラメトリック ウィルコクソンの符号順位検定 マン・ホイットニーのU検定 カイ二乗検定 イェイツのカイ二乗検定 累積カイ二乗検定 フィッシャーの正確確率検定 尤度比検定 G検定 アンダーソン–ダーリング検定 コルモゴロフ–スミルノフ検定 カイパー検定 マンテル検定 コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量 その他 帰無仮説 対立仮説 有意 棄却 区間推定 信頼区間 予測区間 モデル選択基準 AIC BIC WAIC MDL その他 偏り 偏りと分散 過剰適合 推定量 点推定 最尤推定 尤度関数 尤度方程式 最小距離推定 メタアナリシス ブートストラップ法
ベイズ統計学	確率 主観確率 ベイズ確率 事前確率 事後確率 最大事後確率 その他 ベイズ推定 ベイズ因子
相関	交絡変数 ピアソンの積率相関係数 順位相関（スピアマンの順位相関係数・ケンドールの順位相関係数）
モデル	一般線形モデル 一般化線形モデル 混合モデル 一般化線形混合モデル
回帰	線形 リッジ回帰 ラッソ回帰 エラスティックネット 非線形 k近傍法 回帰木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクター回帰 射影追跡回帰 時系列 自己回帰モデル 自己回帰移動平均モデル ARCHモデル 対移動平均比率法 トレンド定常 傾向推定 共和分 構造変化
分類	線形 線形判別分析 ロジスティック回帰 単純ベイズ分類器 単純パーセプトロン 線形サポートベクターマシン 二次 二次判別分析 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン ベイジアンネットワーク 隠れマルコフモデル その他 二項分類 多クラス分類 第一種過誤と第二種過誤
教師なし学習	クラスタリング k平均法（k-means++法） DBSCAN 密度推定（英語版） カーネル密度推定（カーネル） その他 主成分分析 独立成分分析 自己組織化写像
統計図表	棒グラフ バイプロット（英語版） 箱ひげ図 管理図 フォレストプロット ヒストグラム 円グラフ Q-Qプロット ランチャート 散布図 幹葉図 バイオリン図 ドットプロット ヒートマップ 階級区分図
生存時間分析	生存時間関数 カプラン＝マイヤー推定量 ログランク検定 故障率 比例ハザードモデル
歴史	統計学の創始者 確率論と統計学の歩み
応用	社会統計学 疫学 生物統計学 系統学 統計力学 計量経済学 機械学習 実験計画法
出版物	統計学に関する学術誌一覧 重要な出版物
全般	統計 頻度主義統計学 統計学および機械学習の評価指標
その他	方向統計学 S言語 R言語 統計検定 社会調査士 JDLA Deep Learning For GENERAL JDLA Deep Learning for ENGINEER 実用数学技能検定 品質管理検定
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