因子分析の適用例とは? わかりやすく解説

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因子分析の適用例

はじめに


 心身健康状態に関する 130 項目の自記質問調査用紙への回答から,尺度作る似通った質問項目をまとめる)。
 この質問紙含まれる質問には 3 つの選択肢与えられており,回答者自分に最も該当する選択肢選択する

最初の因子分析


 質問項目への回答は「はい」,「どちらでもない」,「いいえ」などのような3 つの選択肢から選択される。本来はこのようなデータ順序尺度であり,間隔尺度上の変数対象とする因子分析適用には問題がないわけではないが,簡便性のために因子分析により尺度構成することにする。
 共通性初期値SMC により推定し反復推定することにより主因子解を求めバリマックス回転により最終的な因子求めた

因子数の推定


 相関係数行列の固有値初期固有値)は表 1ようになった
1. 全質問項目対象とした因子分析における初期固有値
 番号  固有値  累積パーセント
1 20.734 15.9
2 5.685 20.3
3 3.396 22.9
4 3.140 25.4
5 2.704 27.4
6 2.610 29.4
7 2.406 31.3
8 2.216 33.0
9 1.956 34.5
10 1.822 35.9
11 1.813 37.3
12 1.688 38.6
13 1.636 39.9
14 1.559 41.1
15 1.512 42.2
16 1.409 43.3
17 1.394 44.4
18 1.350 45.4
19 1.270 46.4
20 1.262 47.4
21 1.219 48.3
22 1.203 49.2
23 1.151 50.1
24 1.104 51.0
25 1.076 51.8
26 1.044 52.6
27 1.022 53.4
28 1.006 54.1
29 0.992 54.9
30 0.970 55.7
途中省略
128 0.280 99.6
129 0.260 99.8
130 0.222 100.0

 相関係数行列基づいて因子分析を行うとき,各変数の持つ情報大きさは 1 に規準化されているので,130 個の変数が持つ情報大きさ130 ということになる。情報大きさは「分散」と考えることもでき,因子分析により得られる因子負荷量二乗和」が「その因子説明する分散」に対応しており,さらには分析対象とした相関係数行列の「固有値」が対応している。第1固有値が 20.734 でありこれは 130 個の変数分散のうち 15.9%(20.734/130×100)を占めている。第 2 固有値はこれに比べるとかなり小さく 5.685 であり,全分散4.3% を占めに過ぎない因子分析により抽出される因子個数決め方法は何通りかあるが,最も単純な方法は「初期固有値1 以上ものの数」を因子数とすることである。初期固有値1以下ということは,その固有値対応する因子は元の変数の持つ情報大きさが1であることから考えると,そのような因子は「一人前情報持っていない」因子であることを意味している。表 1 では,初期固有値1 以上のものは28個である。しかし,3 番以降固有値ドングリの背比べであり,たとえば 28 番目に大き固有値は 1.006 であるが,これは一人前因子とは見なせないであろうこのようなときに,単に数値だけで検討続けるよりは図 1 のような「スクリープロット」を描くとよい。因子大きさ急に変化するところがあれば,その前までの個数因子数の推定値とするのであるこのようにすれば,最初因子分析では因子2 つあることが示唆される。もっとも,因子数の推定前もって行うことはできないことが多いので,最初因子分析ではとくに因子数の指定行わず分析しその結果吟味して因子数を推定して 2 回目因子分析のときに因子数を指定してやればよい。 因子分析の適用例
1. 固有値のスクリープロット

相関係数行列の吟味


 因子分析プログラムによっては,分析対象とするデータにおいて因子分析を行うことに意味があるかどうかチェック行いその結果提示してくれるものがある。出力されるのは,反イメージ相関係数行列や Kaiser-Meyer-Olkin のサンプリング適切性基準であるが,後者のものが解釈しやすい。
 対象としたデータにおいて,Kaiser-Meyer-Olkin のサンプリング適切性基準の値は 0.957 と大きく(marvelous),因子分析適用してよいという判断下した

因子の解釈


 因子数を 2 に指定して因子分析行った結果表 3 に示す。因子軸の回転を行うことにより因子解釈容易になることが多いので,バリマックス回転行った結果示した。なお,因子軸の回転には直交回転と斜交回転があり,それぞれ複数回転方法がある。
 どの方法採用するかによって結果異なることもあるので,何種類試して最も解釈しすいもの探索するのもよいかもしれない
 表 3バリマックス回転後の因子負荷量大きい順に並べてある。まず最初に変数ごとに絶対値が一番大き因子負荷量を示すものを捜し,その変数がどの因子所属するかを決める。次に今度因子ごとに見て,その因子所属するとされた変数因子負荷量絶対値大きい順に並べる。並べ替えを行うオプション持っていない分析プログラム場合には,分析時に指定した順番出力される結果において前段階だけを行いマークをつけるとよい。
 まず最初にチェックすべきことは,各因子寄与率である。「因子負荷量二乗和」と書かれた行は各因子説明する分散大きさである(因子軸の回転を行う前の固有値相当する)。第1因子因子負荷量二乗和は13.351ということで,全体分散の 10.3%(=13.351/130×100)を占めている。第 2 因子因子負荷量二乗和は 11.600 であり,8.9% を占めている。それぞれ全体分散の何%を占めているかは「寄与率」の書かれている。この寄与率累積和をとったものがその下の「累積寄与率」に書かれている130 質問項目全体因子分析では,2 つ因子抽出され2 つ因子は元の分散の 19.2% を説明していることになる。19.2% という説明率は決して高いものではない。8 割程度分散説明できないまま放置されていることに注意すべきである説明率は目的分野にもよるが 7,80% 以上あることが望ましいであろう
 次に,各因子解釈意味づけ)を行う。第 1 因子因子負荷量が第2因子因子負荷量より大きいものは 74 項目,第 2 因子因子負荷量の方が大きいものは 56 項目ある。しかし,これらの質問項目それぞれの因子とどの程度相関があるかは大きな違いがある。因子負荷量数値それぞれの変数因子の間の相関係数相当するものであるので,因子負荷量大きさ注意しながら因子解釈を行う。
 第 1 因子含まれる質問項目を見ると,「胃が重かったりもたれたりする」,「頭が重い」,「体のあちこち痛む」,「目がぼんやりかすむ」,「急いで歩いたときなどに息切れ動悸」,「食事が不規則」などとなっている。これらを総合する表現としては『身体の不調ということでよいだろう。これらの因子負荷量のほとんどは負の値である。ここで注意しなければならないのは,「因子負荷量符号は,因子単位付け替えてもよい」ということである。つまり,ある因子において因子負荷量が負のものを正に,正のものを負に置き換えてかまわないということである。今の場合でいうと,「第 1 因子因子負荷量が負である変数身体的な状況が悪い状態を表し因子負荷量が正である変数身体的な状況良い状態を表す」ということになっているので,もし,因子負荷量符号付け替えたとしても「第1因子因子負荷量が正である変数身体的な状況が悪い状態を表し因子負荷量が負である変数身体的な状況良い状態を表す」ということなるだけである。結局因子解釈を行うときの因子負荷量の意味は「相対的である」ということになる。
 なお,因子負荷量絶対値小さ質問項目は,その変数関与する因子関連小さいので除外してかまわない(あるいは,除外すべきである)。全体的に見た因子負荷量大きさ分布にもよるが,因子負荷量絶対値が0.3以上のものを取り上げるとよいだろうまた,表 3 において「共通性と書かれた数値は,その変数が,抽出され因子説明される割合表している(0 から 1 の範囲の値をとる)。もしこの数値小さ場合には,その質問はこれらの抽出され因子では説明できない割合大きということになるので,そのような変数除外した方がよい。
表 3. 全質問項目対象にした因子分析結果バリマックス回転
質問 第1因子 第2因子 共通性 質問内容
Q101 -0.595 -0.150 0.376 胃が重かったりもたれたりすることがありますか
Q039 -0.578 -0.239 0.391 頭が重いことがありますか
Q086 -0.570 -0.133 0.342 胃腸の具合いが悪いことありますか
Q033 -0.561 -0.111 0.327 みぞおちのあたり(胃)が痛むことがありますか
Q035 -0.555 -0.145 0.329 体のあちこち痛むことがありますか
Q082 -0.551 -0.377 0.446 近ごろ体がだるいです
Q024 -0.539 -0.220 0.339 手足がだるいことがありますか
Q128 -0.530 -0.117 0.294 下腹痛むことがありますか
Q067 -0.528 -0.160 0.305 体が熱っぽかったり微熱があったりします
Q093 -0.515 -0.135 0.284 胸やけすることがありますか
Q085 -0.515 -0.139 0.285 目が痛かった熱く感じたりすることがありますか
Q106 -0.515 -0.081 0.272 のどが痛かったいがらっぽかったりします
Q111 -0.510 -0.092 0.268 食後に胃が痛むことがありますか
Q069 -0.510 -0.091 0.268 背中背骨痛むことがありますか
Q127 -0.510 -0.084 0.267 空腹時に胃が痛むことがありますか
Q088 -0.500 -0.206 0.293 まぶたが重いと感じることがありますか
Q013 -0.493 -0.167 0.271 目まいがすることがありますか
Q004 -0.490 -0.141 0.260 頭が痛くなることがありますか
Q017 -0.482 -0.359 0.362 頭がぼんやりすることがありますか
Q045 -0.476 -0.158 0.252 立ちくらみすることがありますか
Q120 -0.475 -0.253 0.290 顔がほてったり頭がのぼせたりします
Q055 -0.471 -0.165 0.249 目がぼんやりかすむことがありますか
Q129 -0.462 -0.185 0.248 階段のぼりおりがつらいことがありますか
Q007 -0.451 -0.109 0.216 消化不良起こすことがありますか
Q130 -0.450 -0.186 0.237 急いで歩いたときなど息切れしますか
Q030 -0.440 -0.137 0.213 のどがつまったような感じありますか
Q076 -0.436 -0.191 0.227 急いで歩くと動悸激しくなります
Q065 -0.428 -0.065 0.187 腰の痛むことがありますか
Q103 -0.427 -0.333 0.294 になって休みたいことがありますか
Q052 -0.423 -0.093 0.188 肩がこったり,痛んだりすることがありますか
Q019 -0.410 -0.133 0.185 目が疲れやすいです
Q078 -0.409 -0.226 0.219 体が弱いほうですか
Q104 -0.404 -0.113 0.176 口がはれぼったかった熱っぽいことがありますか
Q084 -0.386 -0.134 0.167 かぜをひきやすいです
Q050 -0.384 -0.159 0.173 生つばがでることがありますか
Q118 -0.382 -0.120 0.160 皮ふかゆくなることがありますか
Q091 -0.381 -0.266 0.216 近ごろ朝起きるのがつらいです
Q043 -0.380 -0.171 0.174 食欲のないときがありますか
Q048 -0.379 -0.032 0.144 痰(たん)がからむことがありますか
Q053 -0.375 -0.242 0.199 冷汗をかくことがありますか
Q016 -0.371 -0.107 0.149 舌があれやすいです
Q028 -0.369 -0.141 0.156 人に顔色が悪いと言われますか
Q005 -0.368 -0.025 0.136 最近せきが出ます
Q117 -0.367 -0.032 0.136 痰(たん)がでることがありますか
Q003 -0.365 -0.080 0.139 口の中があれることがありますか
Q108 -0.341 -0.189 0.152 目やに多いです
Q049 -0.339 -0.069 0.119 目が充血してまっかになることがありますか
Q089 -0.335 -0.083 0.119 鼻がつまることがありますか
Q097 -0.335 -0.087 0.120 息をするとゼイゼイと音がします
Q122 -0.332 -0.153 0.134 食事不規則なことがありますか
Q031 -0.332 -0.167 0.138 できものができやすいです
Q051 -0.327 -0.080 0.113 下痢をすることがありますか
Q114 -0.319 -0.092 0.110 歯ぐきがはれることがありますか
Q062 -0.311 -0.063 0.101 鼻水が出ることがありますか
Q020 -0.309 -0.104 0.106 げっぷが出ることがありますか
Q064 -0.308 -0.073 0.100 歯をみがくときなどにはきけのすることがありますか
Q113 -0.298 -0.167 0.117 近ごろ寝不足ですか
Q027 -0.291 -0.104 0.095 歯ぐきの色が悪いです
Q018 -0.290 -0.047 0.086 くしゃみが出ることがありますか
Q099 -0.284 -0.077 0.087 発疹(赤いぶつぶつ)が出ることがありますか
Q080 -0.265 -0.131 0.087 排便のとき肛門痛みます
Q063 -0.261 -0.013 0.068 じんましんが出ることがありますか
Q056 -0.253 -0.066 0.068 歯ぐきから出血することがありますか
Q006 -0.253 -0.100 0.074 皮ふが弱いほうですか
Q042 -0.240 -0.189 0.093 口臭強いです
Q095 -0.228 -0.066 0.056 朝食食べないことがありますか
Q014 -0.225 -0.137 0.069 寒がりやですか
Q070 -0.210 -0.130 0.061 便秘しやすいです
Q002 0.189 0.086 0.043 早寝早起きのほうですか
Q059 -0.181 0.008 0.033 毎日20本以上のタバコをすいますか
Q094 -0.143 -0.071 0.026 痔の出血ありますか
Q057 0.136 -0.002 0.018 医者から血圧のことで何か言われましたか
Q047 -0.108 -0.029 0.013 宗教書哲学書を読みます
Q073 -0.042 0.038 0.003 酒類をたくさん飲みます
Q083 -0.165 -0.689 0.501 ちょっとしたことが気になります
Q119 -0.237 -0.633 0.457 近ごろ何かにつけ自信なくなってきました
Q100 -0.312 -0.630 0.495 ゆううつなときがありますか
Q090 -0.198 -0.619 0.422 ひけ目を感じることがありますか
Q022 -0.098 -0.616 0.390 過ぎたことくよくよ考えます
Q037 -0.223 -0.610 0.422 いつもおもしろくなく気がふさぎます
Q060 -0.209 -0.590 0.392 ひとりぼっちだと感じることがありますか
Q058 -0.168 -0.584 0.369 不平不満が多いほうだ思います
Q112 -0.128 -0.577 0.350 心配性だと思います
Q032 -0.214 -0.577 0.379 人生悲しく希望持てないですか
Q081 -0.227 -0.548 0.351 気分に波がありすぎると思います
Q107 -0.166 -0.534 0.312 神経質だ思います
Q066 -0.292 -0.530 0.366 気疲れするほうですか
Q109 -0.199 -0.521 0.311 自分生き方まちがっていたと思います
Q046 -0.159 -0.517 0.293 会合出席してもいつも孤独感じます
Q096 -0.141 -0.515 0.285 ちょっとしたことですぐカッとしますか
Q116 -0.041 -0.510 0.262 気が小さい思います
Q008 -0.299 -0.508 0.348 イライラすることがありますか
Q040 -0.049 -0.503 0.255 人が自分をどう思っているか気になります
Q121 -0.160 -0.488 0.264 人に見られていると仕事が手につきませんか
Q124 -0.123 -0.481 0.247 気むずかしいほうですか
Q011 -0.327 -0.461 0.320 近ごろ気がないですか
Q074 -0.261 -0.461 0.281 人に会いたくないときがありますか
Q029 -0.086 -0.428 0.191 自分気に入らないことがあるカッとしますか
Q010 -0.183 -0.423 0.212 神経敏感なほうですか
Q025 -0.179 -0.422 0.210 他人に誤解されやすい性格だと思います
Q092 -0.129 -0.420 0.193 どなりつけられると体がすくみますか
Q079 -0.152 -0.410 0.191 見知らぬ場所では落着きませんか
Q125 -0.125 -0.401 0.177 人にせかされるとしゃくにさわります
Q041 -0.142 -0.400 0.180 苦労性だ思います
Q077 -0.176 -0.381 0.176 試験の時や目上の人の質問答える時汗をかきます
Q087 -0.190 -0.373 0.175 目上の人が近づくとふるえそうになります
Q098 -0.196 -0.365 0.172 非常に怒ることがありますか
Q110 -0.036 -0.357 0.129 他人に自分をよく見せたいですか
Q038 -0.005 0.339 0.115 大勢の前でも平気で意見発表できますか
Q021 -0.059 -0.328 0.111 人に待たされるイライラしますか
Q071 -0.302 -0.319 0.193 仕事がきついと感じることがありますか
Q009 -0.144 -0.303 0.112 よく赤面しますか
Q026 0.025 0.289 0.084 いつも冷静でめったにあわてませんか
Q105 -0.267 -0.278 0.149 夜中の突然の音などでおびえることがありますか
Q012 -0.075 -0.277 0.082 金持ちうらやましい思います
Q075 -0.103 -0.273 0.085 物事敏感なほうですか
Q061 -0.127 -0.221 0.065 人のうわさ話をすることがありますか
Q036 -0.061 -0.217 0.051 知っている人の中にはきらいな人もいますか
Q044 -0.023 -0.213 0.046 無礼な人にはぶあいそうなります
Q126 -0.020 0.209 0.044 短時間たくさんの仕事をする自信ありますか
Q115 -0.082 -0.193 0.044 人に命令されるのはきらいですか
Q054 -0.106 -0.185 0.046 衣服や手のよごれが気になります
Q015 -0.119 -0.157 0.039 間食をしますか
Q072 -0.116 -0.136 0.032 深く考えず行動することがありますか
Q123 -0.079 -0.134 0.024 世間アッと言わせるようなことをしてみたいです
Q068 0.041 0.127 0.018 その日のうちにすべき事はその日のうちにしますか
Q001 0.010 -0.093 0.009 甘いものが好きです
Q102 -0.008 0.060 0.004 新聞社説毎日読みます
Q034 -0.015 -0.046 0.002 自分体重についてどう思っていますか
Q023 0.035 0.035 0.002 よく考えてら行動しますか
因子負荷量二乗 13.351 11.600

寄与率 10.270 8.923

累積寄与率 10.270 19.194

共通性の低い質問項目を除いた因子分析


 共通性0.25上の 44 質問項目対象として 2 回目因子分析行った。 Kaiser-Meyer-Olkin のサンプリング適切性基準の値は 0.960 であった初期固有値1 以上のものは 7 個であるが,スクリープロットにより 2 因子含まれていると推定される
 変数セット変わったので,各変数共通性は前の分析場合異なる。0.25下回るものも若干見受けられるので,共通性が低い変数除いて再度分析行い,低すぎる共通性を持つ変数がなくなるまでこれを繰り返す方がいいかもしれない
 5 個の質問項目除いて再度因子分析行った結果表 4 に示す。
 Kaiser-Meyer-Olkin のサンプリング適切性基準は 0.958(marvelous)で,各変数共通性はいずれ0.25 以上となった累積寄与率は 36.3% になっている130 質問項目全部用いて因子分析行ったときの 19.2% と単純に比較することはできない。つまり,累積寄与率分析使用した変数の全分散対す割合であるから,この数値単純に比較してはいけない)。
表 4. 最終的な因子分析結果バリマックス回転
質問 第1因子 第2因子 共通性 質問内容
Q100 0.701 0.276 0.568 ゆううつなときがありますか
Q119 0.698 0.185 0.522 近ごろ何かにつけ自信なくなってきました
Q037 0.695 0.176 0.514 いつもおもしろくなく気がふさぎます
Q032 0.670 0.159 0.474 人生悲しく希望持てないですか
Q060 0.660 0.149 0.458 ひとりぼっちだと感じることがありますか
Q083 0.657 0.154 0.456 ちょっとしたことが気になります
Q090 0.626 0.158 0.417 ひけ目を感じることがありますか
Q022 0.594 0.087 0.360 過ぎたことくよくよ考えます
Q109 0.574 0.141 0.349 自分生き方まちがっていたと思います
Q011 0.552 0.285 0.386 近ごろ気がないですか
Q058 0.550 0.149 0.325 不平不満が多いほうだ思います
Q046 0.539 0.119 0.305 会合出席してもいつも孤独感じます
Q081 0.531 0.217 0.330 気分に波がありすぎると思います
Q066 0.528 0.287 0.362 気疲れするほうですか
Q112 0.523 0.133 0.291 心配性だと思います
Q074 0.503 0.232 0.307 人に会いたくないときがありますか
Q107 0.493 0.156 0.267 神経質だ思います
Q008 0.491 0.295 0.328 イライラすることがありますか
Q101 0.138 0.669 0.466 胃が重かったりもたれたりすることがありますか
Q033 0.098 0.660 0.445 みぞおちのあたり(胃)が痛むことがありますか
Q086 0.126 0.618 0.398 胃腸の具合いが悪いことありますか
Q039 0.290 0.600 0.444 頭が重いことがありますか
Q111 0.077 0.588 0.351 食後に胃が痛むことがありますか
Q127 0.065 0.582 0.343 空腹時に胃が痛むことがありますか
Q128 0.123 0.555 0.323 下腹痛むことがありますか
Q035 0.184 0.545 0.331 体のあちこち痛むことがありますか
Q093 0.131 0.538 0.307 胸やけすることがありますか
Q082 0.452 0.524 0.479 近ごろ体がだるいです
Q024 0.267 0.522 0.344 手足がだるいことがありますか
Q013 0.197 0.511 0.300 目まいがすることがありますか
Q004 0.173 0.509 0.289 頭が痛くなることがありますか
Q069 0.128 0.501 0.267 背中背骨痛むことがありますか
Q067 0.208 0.497 0.291 体が熱っぽかったり微熱があったりします
Q045 0.184 0.486 0.270 立ちくらみすることがありますか
Q085 0.180 0.475 0.258 目が痛かった熱く感じたりすることがありますか
Q088 0.242 0.468 0.278 まぶたが重いと感じることがありますか
Q017 0.413 0.465 0.387 頭がぼんやりすることがありますか
Q120 0.268 0.455 0.279 顔がほてったり頭がのぼせたりします
Q103 0.374 0.388 0.290 になって休みたいことがありますか
因子負荷量二乗 7.440 6.718

寄与率 19.076 17.225

累積寄与率 19.076 36.301


 表 4 では,各変数2 つ因子いずれかに所属していることが読みとれる。場合によっては,共通性ある程度高いが因子負荷量比較的低いという変数残っているかもしれないそのような場合にはそのような変数除いて再度因子分析繰り返す方がよい。
 分析使用した 39 変数2 つグループ分けられることがわかった最初18 項目は『精神的な健康状態』,後の 21 項目は『身体的な健康状態』を表すものだと考えられる。この結果に基づき2 つの「仮の尺度」を構成することにする。



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